Examkin

Question

Difficulty: HardKombinasyon (Seçme)

Bir üniversitenin proje geliştirme biriminde 5 matematikçi ve 4 fizikçi görev yapmaktadır. Bu 9 kişilik ekipten 3 kişilik bir komisyon kurulacaktır.

Kurulacak komisyonda;
I. En az bir fizikçi bulunması,
II. Matematikçi Ahmet ile Fizikçi Burak'ın aynı anda bulunmaması
istenmektedir.

Buna göre, bu komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir?

  1. A
    63
  2. 67Answer
  3. C
    70
  4. D
    74
  5. E
    77

Answer

Komisyon 67 farklı şekilde seçilebilir.
Problemi çözmek için 'Tümleyen Yöntemi' en pratik yoldur. Toplam seçim sayısından istenmeyen durumlar çıkarılır.

1. Tüm Durumlar: 9 kişiden 3 kişi seçimi: C(9,3)=84C(9,3) = 84.
2. İstenmeyen Durum 1 (Hiç Fizikçi Yok): Sadece 5 matematikçiden 3 kişi seçilirse fizikçi olmaz. C(5,3)=10C(5,3) = 10.
3. İstenmeyen Durum 2 (Ahmet ve Burak Birlikte): Ahmet ve Burak seçilirse, yanlarına 1 kişi daha gerekir (Kalan 7 kişiden). C(7,1)=7C(7,1) = 7.

Bu iki istenmeyen küme birbirinden bağımsızdır (ayrıktır). Çünkü 'Hiç fizikçi olmayan' grupta fizikçi Burak bulunamaz. Bu yüzden kesişim yoktur.

Sonuç: 84−10−7=6784 - 10 - 7 = 67.

Step-by-Step Solution

1
Tüm olası durumların sayısını hesapla (hiçbir koşul yokmuş gibi).
C(9,3)=9⋅8⋅73⋅2⋅1=84C(9,3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84
Toplam 5 matematikçi + 4 fizikçi = 9 kişi vardır. Bunlardan 3 kişi seçilecektir.
2
Birinci koşula uymayan (hiç fizikçi olmayan) durumları hesapla.
C(5,3)=10C(5,3) = 10
En az bir fizikçi olması istendiğine göre, grubun tamamının matematikçilerden oluştuğu durumlar çıkarılmalıdır. 5 matematikçiden 3'ü seçilir.
3
İkinci koşula uymayan (Ahmet ve Burak'ın birlikte olduğu) durumları hesapla.
C(7,1)=7C(7,1) = 7
Ahmet (Mat) ve Burak (Fiz) grupta ise, kalan 1 kişi diğer 7 kişiden seçilir. Not: Bu durumlarda zaten bir fizikçi (Burak) bulunduğu için, bu durumlar 'sadece matematikçi' kümesiyle kesişmez.
4
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkar.
84−10−7=6784 - 10 - 7 = 67
İstenmeyen iki durum birbirinden ayrıktır (birinde hiç fizikçi yok, diğerinde Burak var). Bu yüzden her ikisi de toplamdan doğrudan çıkarılır.

Key Concept

Koşullu Kombinasyon ve Tümleyen Yöntemi

Hints

1
Doğrudan istenen durumları saymak yerine, tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmayı deneyin.
2
İstenmeyen iki durum var: 1) Grupta hiç fizikçi olmaması, 2) Ahmet ve Burak'ın birlikte olması.
3
'Hiç fizikçi olmayan grup' (sadece matematikçiler) ile 'Ahmet ve Burak'ın olduğu grup' (Burak fizikçidir) birbirinden tamamen farklı durumlardır. Bu iki sayıyı toplam durumdan ayrı ayrı çıkarın.

Practice More

Benzer kısıtlamalara sahip, ancak 'veya' bağlacı içeren olasılık soruları çözülebilir.

Alternative Method

Durumları tek tek toplayarak çözüm:
1) 1 Fizikçi, 2 Matematikçi:
- Fizikçi Burak ise (Ahmet olamaz): 1 seçim * C(4,2) = 6 durum
- Fizikçi Burak değilse (3 aday): C(3,1) * C(5,2) = 3 * 10 = 30 durum
Toplam: 36
2) 2 Fizikçi, 1 Matematikçi:
- Fizikçilerden biri Burak ise (Ahmet olamaz): C(3,1) * C(4,1) = 12 durum
- Fizikçilerden biri Burak değilse: C(3,2) * C(5,1) = 15 durum
Toplam: 27
3) 3 Fizikçi, 0 Matematikçi: C(4,3) = 4 durum

Genel Toplam: 36 + 27 + 4 = 67
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kombinasyon (Seçme)

More questions from this topic