Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlar
Sıfırdan farklı gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için,
3f(x)−f(1x)=2x 3f(x) - f\left(\frac{1}{x}\right) = 2x
eşitliği her x≠0x \neq 0 gerçel sayısı için sağlanmaktadır.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    136\frac{13}{6}
  4. 73\frac{7}{3}Answer
  5. E
    3

Answer

Verilen fonksiyonel eşitlikte değişken değiştirme yöntemiyle elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde f(3)f(3) değeri 73\frac{7}{3} olarak bulunur.
Soruda verilen fonksiyonel eşitlik tek başına f(x)f(x) kuralını vermemektedir. f(3)f(3) değerini bulmak için xx yerine hem 33 hem de 1/31/3 yazılarak iki bilinmeyenli (f(3)f(3) ve f(1/3)f(1/3)) bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem yok etme metoduyla çözüldüğünde doğru cevap 73\frac{7}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikte ilk olarak istenen değeri bulmak için x=3x=3 yazılır.
3f(3)−f(1/3)=63f(3) - f(1/3) = 6 (1. Denklem)
f(3)f(3) ifadesini içeren bir denklem elde etmek.
2
Eşitlikte bilinmeyen diğer terim olan f(1/3)f(1/3)'ü ortaya çıkarmak için x=1/3x=1/3 yazılır.
3f(1/3)−f(3)=2(13)=233f(1/3) - f(3) = 2(\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} (2. Denklem)
İki bilinmeyenli denklem sistemi kurmak için ikinci denklemi oluşturmak.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemi f(3)f(3)'ü bulacak şekilde düzenlenir. 2. Denklem 3 ile genişletilip, 1. Denklem ile taraf tarafa toplanırsa f(1/3)f(1/3) terimleri yok edilir.
1. Denklem: 9f(3)−3f(1/3)=189f(3) - 3f(1/3) = 18 (3 ile çarpılmış hali)
2. Denklem: −f(3)+3f(1/3)=2/3-f(3) + 3f(1/3) = 2/3
Yok etme metoduyla f(1/3)f(1/3) teriminden kurtulmak.
4
Denklemler taraf tarafa toplanır ve f(3)f(3) yalnız bırakılır.
8f(3)=18+23=563  ⟹  f(3)=5624=738f(3) = 18 + \frac{2}{3} = \frac{56}{3} \implies f(3) = \frac{56}{24} = \frac{7}{3}
Sonuca ulaşmak.

Key Concept

Fonksiyonel denklemlerde xx yerine 1/x1/x (veya benzeri dönüşümler) yazılarak denklem sistemi elde etme ve yok etme metodu.

Hints

1
Eşitlikte önce x=3x=3 yazarak bir denklem elde ediniz. Bu denklemde f(3)f(3) ve f(1/3)f(1/3) bilinmeyenleri olacaktır.
2
Bilinmeyen sayısını azaltmak için x=1/3x=1/3 yazarak ikinci bir denklem daha oluşturunuz.
3
Elde ettiğiniz iki denklemi, f(1/3)f(1/3) terimlerini yok edecek şekilde (katsayılarını eşitleyerek) taraf tarafa toplayınız.

Practice More

f(x)+2f(−x)=x2+1f(x) + 2f(-x) = x^2 + 1 ise f(1)f(1) kaçtır? sorusu ile bu konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Genel çözüm için 3f(x)−f(1/x)=2x3f(x) - f(1/x) = 2x ve 3f(1/x)−f(x)=2/x3f(1/x) - f(x) = 2/x sistemi çözülerek f(x)=3x+1x4f(x) = \frac{3x + \frac{1}{x}}{4} genel kuralı bulunabilir, ardından x=3x=3 yazılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic