Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

Bir düzgün çokgenin herhangi bir köşesinden çizilen tüm köşegenler, o köşeye ait iç açıyı ölçüleri birbirine eşit olan parçalara ayırmaktadır. Bu parçalardan her birinin ölçüsü 12∘12^{\circ} olduğuna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  1. A
    54
  2. 90Answer
  3. C
    135
  4. D
    180
  5. E
    405

Answer

Toplam köşegen sayısı 90'dır.
Bir düzgün çokgenin çevrel çemberi düşünüldüğünde, kenarlar eşit uzunlukta kirişlerdir. Bir köşeden diğer köşelere çizilen köşegenler, bu kirişleri gören çevre açıları oluşturur. Eşit kirişleri gören çevre açılar eşit olduğundan, iç açı n−2n-2 tane eş parçaya bölünür. Her bir parçanın ölçüsü α=180∘n\alpha = \frac{180^{\circ}}{n} dir. Verilen α=12∘\alpha=12^{\circ} değeri yerine konulduğunda n=15n=15 bulunur. 15 kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı ise 15×122=90\frac{15 \times 12}{2} = 90 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Bir köşeden çıkan köşegenlerin iç açıyı böldüğü parça açısının formülünü belirle.
Bu açı, çokgenin çevrel çemberinde bir kenarı gören çevre açıdır ve ölçüsü 180∘n\frac{180^{\circ}}{n} formülüyle bulunur.
Düzgün çokgenin köşeleri çevrel çember üzerindedir ve eşit kenarlar eşit yayları, dolayısıyla eşit çevre açıları görür.
2
Verilen açı ölçüsünü kullanarak kenar sayısını (n) bul.
180n=12  ⟹  n=15\frac{180}{n} = 12 \implies n = 15. Çokgen 15 kenarlıdır.
Parça açısı 12 derece olarak verilmiştir.
3
Toplam köşegen sayısını hesapla.
n(n−3)2=15(15−3)2=15×122=90\frac{n(n-3)}{2} = \frac{15(15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 90.
Bir n-genin toplam köşegen sayısı formülü uygulanır.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde bir köşeden çıkan köşegenler, iç açıyı 180∘n\frac{180^{\circ}}{n} ölçüsünde eş açılara böler.

Hints

1
Bir köşeden çizilen köşegenlerin, çokgenin iç açısını kaç tane üçgene ve dolayısıyla kaç parçaya ayırdığını düşünün.
2
Düzgün çokgenin çevrel çemberini hatırlayın. Bir köşeden çıkan ışınlar, eşit uzunluktaki kenarları (kirişleri) görmektedir.
3
Bir kenarı gören çevre açının ölçüsü 180∘n\frac{180^{\circ}}{n} formülüyle bulunur. Buradan n sayısını bulup köşegen formülünde yerine yazın.

Practice More

Bir iç açısı 144 derece olan düzgün çokgenin kenar sayısını bulunuz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic