Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=5|AB| = 5 cm ve ∣AC∣=12|AC| = 12 cm olarak verilmiştir. m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu bilindiğine göre, BCBC kenarının santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    2
  2. 3Answer
  3. C
    4
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

Üçgen eşitsizliği ve geniş açı kuralı birlikte değerlendirildiğinde, kenar uzunluğunun alabileceği 3 farklı tam sayı değeri (14, 15, 16) bulunmaktadır.
Üçgen eşitsizliğine göre ∣BC∣|BC| uzunluğu 7 ile 17 arasında olmalıdır. Ancak açının 90∘90^\circ'den büyük olduğu belirtildiği için, Pisagor bağıntısının ötesinde ∣BC∣2>52+122|BC|^2 > 5^2 + 12^2 şartı da sağlanmalıdır. Bu durumda ∣BC∣>13|BC| > 13 olur. Her iki şartı sağlayan tam sayılar 14, 15 ve 16 olmak üzere toplam 3 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Üçgen eşitsizliğini uygulayın.
∣12−5∣<∣BC∣<12+5⇒7<∣BC∣<17|12 - 5| < |BC| < 12 + 5 \Rightarrow 7 < |BC| < 17
Bir üçgende bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
2
Geniş açı (m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ) şartını uygulayın.
∣BC∣2>52+122⇒∣BC∣2>25+144⇒∣BC∣2>169⇒∣BC∣>13|BC|^2 > 5^2 + 12^2 \Rightarrow |BC|^2 > 25 + 144 \Rightarrow |BC|^2 > 169 \Rightarrow |BC| > 13
Bir üçgende bir açının ölçüsü 90∘90^\circ'den büyükse, o açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.
3
Her iki koşulu birleştirerek ortak aralığı bulun.
13<∣BC∣<1713 < |BC| < 17
Kenar uzunluğu hem 7 ile 17 arasında olmalı hem de 13'ten büyük olmalıdır.
4
Bu aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyin.
14,15,1614, 15, 16 (Toplam 3 adet)
13 ve 17 sınırları dahil değildir, bu sınırlar arasındaki tam sayılar sayılır.

Key Concept

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Geniş Açı Şartı

Hints

1
Önce BCBC kenarı için üçgen eşitsizliği kuralını kullanarak genel bir aralık belirleyin.
2
Eğer AA açısı tam olarak 90∘90^\circ olsaydı, Pisagor bağıntısından BCBC kaç olurdu? Açının 90∘90^\circ'den büyük olması bu değeri nasıl etkiler?
3
∣BC∣2>52+122|BC|^2 > 5^2 + 12^2 eşitsizliğinden ∣BC∣>13|BC| > 13 sonucuna ulaşın. Bunu üçgen eşitsizliği aralığıyla (7<∣BC∣<177 < |BC| < 17) birleştirin.

Practice More

Eğer açının dar açı (<90∘< 90^\circ) olduğu söylenseydi çözüm nasıl değişirdi?
Estimated Time:1m 15s
Rate this question

Topics

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

More questions from this topic