Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde ∣BC∣=12|BC| = 12 cm, ∣AB∣=x|AB| = x cm ve ∣AC∣=(x+4)|AC| = (x + 4) cm olarak verilmiştir.

m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu ve xx'in bir tam sayı olduğu bilindiğine göre, xx'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. 11Answer
  3. C
    15
  4. D
    18
  5. E
    21

Answer

x'in alabileceği değerler toplamı 11'dir.
Doğru cevap, hem üçgenin var olabilmesi için gereken temel eşitsizliği (x>4x > 4) hem de A açısının geniş olması şartını (x2+4x−64<0x^2 + 4x - 64 < 0) sağlayan tam sayıların toplamıdır. Bu koşulları sağlayan tam sayılar sadece 5 ve 6'dır.

Step-by-Step Solution

1
Üçgen eşitsizliği kuralını uygula (∣b−c∣<a<b+c|b-c| < a < b+c).
∣(x+4)−x∣<12<(x+4)+x⇒4<12<2x+4|(x+4)-x| < 12 < (x+4)+x \Rightarrow 4 < 12 < 2x+4. Buradan 2x>8⇒x>42x > 8 \Rightarrow x > 4 bulunur.
Bir üçgenin çizilebilmesi için herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
2
Geniş açı şartını (m(A^)>90∘⇒a2>b2+c2m(\widehat{A}) > 90^\circ \Rightarrow a^2 > b^2 + c^2) uygula.
122>x2+(x+4)2⇒144>x2+x2+8x+1612^2 > x^2 + (x+4)^2 \Rightarrow 144 > x^2 + x^2 + 8x + 16.
A açısı 90∘90^\circ'den büyükse, karşısındaki kenarın karesi diğer kenarların kareleri toplamından büyük olmalıdır.
3
Elde edilen ikinci derece eşitsizliği düzenle ve köklerini bul.
128>2x2+8x⇒64>x2+4x⇒x2+4x−64<0128 > 2x^2 + 8x \Rightarrow 64 > x^2 + 4x \Rightarrow x^2 + 4x - 64 < 0. Kökler: x≈6,25x \approx 6,25 ve x≈−10,25x \approx -10,25.
Eşitsizliğin çözüm aralığını belirlemek için kritik noktaların (köklerin) bulunması gerekir.
4
Her iki koşulu sağlayan tam sayıları belirle ve topla.
Üçgen eşitsizliğinden x>4x > 4, geniş açı şartından x<6,25x < 6,25. Ortak aralık: 4<x<6,254 < x < 6,25. Bu aralıktaki tam sayılar {5,6}\{5, 6\}'dır. Toplam: 5+6=115 + 6 = 11.
x değeri hem üçgen oluşma şartını hem de geniş açı şartını aynı anda sağlamalıdır.

Key Concept

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları (Geniş Açı Kuralı ve Üçgen Eşitsizliği)

Hints

1
Bir üçgenin çizilebilmesi için her kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır.
2
A açısı 90∘90^\circ'den büyükse, Pisagor teoremi (a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2) eşitsizliğe dönüşür: a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2.
3
122>x2+(x+4)212^2 > x^2 + (x+4)^2 eşitsizliğini çözerek x'in üst sınırını bulun ve bunu üçgen eşitsizliğinden gelen alt sınır (x>4x>4) ile birleştirin.

Practice More

Benzer bir soruyu, açının 90∘90^\circ'den küçük (dar açı) olduğu durum için çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Şıklardan giderek deneme yapılabilir. Örneğin x=7 için kenarlar 7, 11, 12 olur. 122=14412^2 = 144, 72+112=49+121=1707^2+11^2 = 49+121 = 170. 144>170144 > 170 olmadığı için (Geniş açı şartı sağlanmaz) x=7 olamaz. x=4 için kenarlar 4, 8, 12 olur; 4+8=124+8=12 olduğu için üçgen oluşmaz (çizgi olur).
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

More questions from this topic