Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısının onlar basamağındaki rakam silindiğinde elde edilen iki basamaklı ACAC doğal sayısı, başlangıçtaki ABCABC sayısının 19\frac{1}{9}'una eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    450
  2. B
    675
  3. 855Answer
  4. D
    1080
  5. E
    1215

Answer

Koşulu sağlayan sayıların toplamı 855'tir.
Verilen ilişki matematiksel olarak modellendiğinde 5(A+B)=4C5(A+B)=4C eşitliğine ulaşılır. Bu eşitliği sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan ABCABC sayıları 135, 315 ve 405'tir. Bu sayıların toplamı 855 eder.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.
ABC=9⋅ACABC = 9 \cdot AC
Soruda ACAC sayısının ABCABC sayısının 1/91/9'u olduğu belirtilmiştir, yani ABCABC sayısı ACAC'nin 9 katıdır.
2
Basamak çözümlemesi yaparak denklemi açın.
100A+10B+C=9(10A+C)100A + 10B + C = 9(10A + C)
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve AC=10A+CAC = 10A + C şeklinde çözümlenir.
3
Denklemi düzenleyerek A,B,CA, B, C rakamları arasındaki bağıntıyı bulun.
100A+10B+C=90A+9C⇒10A+10B=8C⇒5(A+B)=4C100A + 10B + C = 90A + 9C \Rightarrow 10A + 10B = 8C \Rightarrow 5(A+B) = 4C
Benzer terimleri bir araya getirip sadeleştirme yapılır.
4
Elde edilen 5(A+B)=4C5(A+B) = 4C eşitliğine uygun rakamları belirleyin.
C=5C=5 ve A+B=4A+B=4
5 ve 4 aralarında asal olduğundan, eşitliğin sağlanması için CC 5'in katı olmalıdır. CC bir rakam olduğu için 0 veya 5 olabilir. Ancak C=0C=0 ise A+B=0A+B=0 olur ki bu durumda A=0A=0 olmalıdır, fakat AA yüzler basamağında olduğu için 0 olamaz. Dolayısıyla C=5C=5 olmak zorundadır.
5
A+B=4A+B=4 şartını sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan (A,B)(A,B) ikililerini bulun.
(1,3),(3,1),(4,0)(1,3), (3,1), (4,0)
Toplamları 4 olan ikililer: (1,3),(2,2),(3,1),(4,0)(1,3), (2,2), (3,1), (4,0). Ancak soruda 'rakamları birbirinden farklı' dendiği için (2,2)(2,2) elenir (çünkü A=BA=B olur). Ayrıca C=5C=5 olduğu için diğer rakamlarla çakışma yoktur.
6
Bulunan ABCABC sayılarını yazıp toplayın.
135+315+405=855135 + 315 + 405 = 855
Geçerli sayılar 135, 315 ve 405'tir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
Soruda verilen sözel ifadeyi ABC=9⋅ACABC = 9 \cdot AC şeklinde matematiksel bir eşitliğe dönüştürerek başlayın.
2
Eşitliğin her iki tarafını basamak değerlerine göre açın (100A+10B+C=...100A+10B+C = ...) ve sadeleştirin. CC ile A+BA+B arasında bir oran bulacaksınız.
3
Sadeleştirme sonucunda 5(A+B)=4C5(A+B) = 4C elde edilir. C bir rakam olduğu için 5'in katı olmalıdır. Rakamları birbirinden farklı şartını unutmayın.

Practice More

Benzer bir mantıkla, rakamları toplamının belirli bir katına eşit olan sayıları soran sorular çözülebilir.

Alternative Method

Deneme yanılma yerine, 9 ile çarpıldığında 3 basamaklı olan ve ortadaki rakamı silindiğinde 1/9'una düşen sayıları düşünmek zordur. Ancak ACAC sayısının 9 katının ortasına bir rakam eklenmiş hali olduğunu düşünerek tersten gidilebilir. Örneğin AC=15AC=15 ise 9×15=1359 \times 15 = 135. Ortadaki 3 silinirse 15 kalır. Doğru. ACAC değerlerini deneyerek (15, 25, 35, 45...) gitmek de bir yöntemdir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic