Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için;
f(x−2)=3x+1f(x-2) = 3x + 1
(g−1∘f)(x)=2x−3(g^{-1} \circ f)(x) = 2x - 3
eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, g(5)g(5) değeri kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    13
  3. C
    16
  4. 19Answer
  5. E
    21

Answer

Doğru cevap 19'dur.
Verilen (g−1∘f)(x)=2x−3(g^{-1} \circ f)(x) = 2x - 3 eşitliği, ters fonksiyon tanımı gereği f(x)=g(2x−3)f(x) = g(2x - 3) şeklinde yazılabilir. Bizden g(5)g(5) istendiği için, gg fonksiyonunun parantez içi 55 yapılmalıdır. 2x−3=52x - 3 = 5 denkleminden x=4x = 4 bulunur. Bu xx değeri yerine yazıldığında f(4)=g(5)f(4) = g(5) elde edilir. f(4)f(4) değerini bulmak için f(x−2)=3x+1f(x-2) = 3x + 1 eşitliğinde parantez içinin 44 olması gerekir (x−2=4⇒x=6x-2=4 \Rightarrow x=6). x=6x=6 için f(4)=3(6)+1=19f(4) = 3(6) + 1 = 19 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen bileşke fonksiyon eşitliğini düzenleyerek gg fonksiyonunu yalnız bırakma.
(g−1∘f)(x)=g−1(f(x))=2x−3(g^{-1} \circ f)(x) = g^{-1}(f(x)) = 2x - 3 ifadesinden, ters fonksiyon özelliği gereği f(x)=g(2x−3)f(x) = g(2x - 3) eşitliği elde edilir.
y=g−1(x)  ⟺  x=g(y)y = g^{-1}(x) \iff x = g(y) özelliğini kullanmak soruyu gg fonksiyonu cinsinden ifade etmemizi sağlar.
2
g(5)g(5) değerini bulmak için gg'nin içindeki ifadeyi 5'e eşitleme.
2x−3=5⇒2x=8⇒x=42x - 3 = 5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4 bulunur.
Elde ettiğimiz f(x)=g(2x−3)f(x) = g(2x - 3) eşitliğinde g(5)g(5)'i elde etmek için xx'in alması gereken değeri bulmalıyız.
3
Bulunan x=4x=4 değerini eşitlikte yerine yazarak g(5)g(5) ile ff fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kurma.
x=4x=4 için eşitlik f(4)=g(2⋅4−3)=g(5)f(4) = g(2\cdot4 - 3) = g(5) halini alır. Yani g(5)g(5)'i bulmak için f(4)f(4) değerini hesaplamamız gerekir.
Sorunun çözümü f(4)f(4) değerinin bulunmasına indirgenmiştir.
4
f(x−2)=3x+1f(x-2) = 3x + 1 kuralını kullanarak f(4)f(4) değerini hesaplama.
f(4)f(4) olması için parantez içi x−2=4⇒x=6x-2 = 4 \Rightarrow x = 6 olmalıdır. Bu değer kuralda yerine yazılırsa: f(6−2)=3(6)+1=18+1=19f(6-2) = 3(6) + 1 = 18 + 1 = 19.
ff fonksiyonunun kuralı x−2x-2 cinsinden verildiği için, f(4)f(4)'ü bulmak adına değişkene 66 verilmelidir.
5
Sonucu belirleme.
g(5)=f(4)=19g(5) = f(4) = 19.
Bulunan değer sorunun cevabıdır.

Key Concept

Bileşke ve Ters Fonksiyon Özellikleri

Hints

1
g−1(A)=Bg^{-1}(A) = B ise g(B)=Ag(B) = A kuralını hatırlayınız. Bu kuralı (g−1∘f)(x)(g^{-1} \circ f)(x) ifadesine uygulayarak f(x)f(x) ve gg arasındaki ilişkiyi yazınız.
2
f(x)=g(2x−3)f(x) = g(2x - 3) eşitliğini elde ettikten sonra, g(5)g(5)'i bulmak için 2x−32x - 3 ifadesini 55'e eşitleyen xx değerini bulunuz.
3
2x−3=52x - 3 = 5 için x=4x=4 bulunur. Bu durumda g(5)=f(4)g(5) = f(4) olur. Şimdi f(x−2)=3x+1f(x-2) = 3x + 1 denkleminde f(4)f(4)'ü bulmak için xx yerine ne yazmanız gerektiğini düşününüz.

Alternative Method

Önce x−2=tx-2=t dönüşümü ile f(x)=3(x+2)+1=3x+7f(x) = 3(x+2)+1 = 3x+7 kuralını bulabilir, sonra 3x+7=g(2x−3)3x+7 = g(2x-3) eşitliğinde 2x−3=5⇒x=42x-3=5 \Rightarrow x=4 yazarak g(5)=3(4)+7=19g(5) = 3(4)+7 = 19 sonucuna ulaşabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic