Sıfırdan farklı x ve y gerçel sayıları için aşağıda verilen önermelerden hangileri **her z… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Sıfırdan farklı $x$ ve $y$ gerçel sayıları için aşağıda verilen önermelerden hangileri her zaman doğrudur?

I. $x+y$ ve $x-y$ ifadeleri birer rasyonel sayı ise $x$ ve $y$ rasyonel sayılardır.
II. $x \cdot y$ ve $\frac{x}{y}$ ifadeleri birer rasyonel sayı ise $x$ ve $y$ rasyonel sayılardır.
III. $x^3$ ve $x^2$ ifadeleri birer rasyonel sayı ise $x$ rasyonel sayıdır.

Buna göre, yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A
Yalnız I
B
Yalnız II
C
I ve II
I ve IIIAnswer
E
I, II ve III

Answer

I ve III ifadeleri her zaman doğrudur.

I. öncülde toplam ve farkın rasyonel olması, sayıların tek tek rasyonel olmasını zorunlu kılar. III. öncülde üslerin farkı 1 olduğu için (

3-2=1

) bölme işlemi ile sayının kendisi elde edilir ve rasyonellik korunur. Bu nedenle I ve III kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

I. öncülü analiz et.

Doğru.

(x+y) + (x-y) = 2x

olur. İki rasyonel sayının toplamı rasyonel olduğundan

2x

rasyoneldir, dolayısıyla

x

rasyoneldir. Benzer şekilde

(x+y) - x = y

işlemi ile

y

'nin de rasyonel olduğu kanıtlanır.

II. öncül için karşıt örnek (aksine örnek) ara.

Yanlış.

x = \sqrt{2}

y = \sqrt{2}

olsun (irrasyonel sayılar).

x \cdot y = 2

(rasyonel) ve

\frac{x}{y} = 1

(rasyonel) olur. Ancak

x

y

rasyonel değildir. Bu durum önermeyi çürütür.

III. öncülü üsler arasındaki ilişkiyi kullanarak analiz et.

Doğru.

x^3

x^2

rasyonel ve

x \neq 0

olduğu için, bölme işlemi

\frac{x^3}{x^2} = x^1 = x

sonucunu verir. İki rasyonel sayının bölümü (payda 0 olmadıkça) rasyonel olduğundan

x

mutlaka rasyoneldir.

Key Concept

Rasyonel Sayılarda İşlemler ve Kapalılık

Alternative Method

III. öncül için

x^3 = r_1

x^2 = r_2

(rasyonel sayılar) diyelim.

x = r_1 / r_2

olacağından, rasyonel sayıların bölümü yine rasyoneldir.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic