Examkin

Question

Difficulty: HardTek ve Çift Sayılar
a,ba, b ve cc birer tam sayı olmak üzere,
3a⋅b+10a−5c=2023 3a \cdot b + 10a - 5c = 2023
eşitliği veriliyor.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?

  1. A
    a+b+ca + b + c
  2. B
    a⋅b+ca \cdot b + c
  3. a⋅b⋅ca \cdot b \cdot cAnswer
  4. D
    a⋅c+ba \cdot c + b
  5. E
    a2+c2a^2 + c^2

Answer

Verilen eşitlik incelendiğinde a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c çarpımı her zaman çift sayıdır.
Denklem a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} şeklinde sadeleşir. Bu durum, a⋅ba \cdot b ile cc sayılarının paritelerinin (teklik-çiftlik durumlarının) birbirinden farklı olduğunu gösterir. Yani biri Tek iken diğeri Çifttir. Üç sayının çarpımı (a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c) hesaplanırken, çarpanlardan (abab veya cc) en az biri kesinlikle çift olacağından, çarpımın sonucu her zaman çift sayı olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi Teklik-Çiftlik (T-Ç) açısından analiz et.
3a⋅b+10a−5c=20233a \cdot b + 10a - 5c = 2023 denkleminde katsayıların ve sabit sayıların karakterini belirle.
Tam sayılarda işlemlerin sonucunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için katsayılar sadeleştirilebilir.
2
Terimleri T ve Ç olarak yerine koy ve sadeleştir.
10a10a her zaman Çifttir (Ç). Katsayılar (3 ve 5) teklik-çiftliği değiştirmez. Denklem: (a⋅b)+C¸−c=Tek(a \cdot b) + \text{Ç} - c = \text{Tek} haline gelir.
Çift bir sayı ile çarpılan tam sayı daima çifttir (10a10a). Tek katsayılar (3,53, 5) değişkenin karakterini değiştirmez.
3
Sonuç bağıntısını kur.
a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} sonucuna ulaşılır. Bu, a⋅ba \cdot b ile cc'nin zıt karakterli olması demektir.
İki sayının farkı (veya toplamı) tek ise, sayılardan biri Tek, diğeri Çift olmak zorundadır.
4
Olası durumları tablo ile incele ve şıkları test et.
Durum 1: a⋅ba \cdot b Çift ise cc Tektir. Çarpım a⋅b⋅c=C¸⋅T=C¸ifta \cdot b \cdot c = \text{Ç} \cdot \text{T} = \text{Çift}.
Durum 2: a⋅ba \cdot b Tek ise cc Çifttir. Çarpım a⋅b⋅c=T⋅C¸=C¸ifta \cdot b \cdot c = \text{T} \cdot \text{Ç} = \text{Çift}.
Her iki durumda da çarpımın içinde en az bir çift sayı bulunduğu için sonuç daima çifttir.

Key Concept

Tam sayılarda teklik-çiftlik analizinde, çarpımın tek olması için tüm çarpanların tek olması gerekir; çarpımın çift olması için en az bir çarpanın çift olması yeterlidir.

Hints

1
Denklemdeki 10a10a ifadesinin aa ne olursa olsun her zaman çift sayı olduğuna dikkat edin.
2
Teklik-çiftlik analizinde katsayıları sadeleştirerek a⋅b−c=Teka \cdot b - c = \text{Tek} bağıntısını elde edebilirsiniz.
3
a⋅ba \cdot b ifadesi ile cc sayısı zıt karakterlidir (Biri tek ise diğeri çifttir). Çarpımlarının ne olacağını düşünün.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan, ancak 'Her zaman tektir' ifadesini soran soruları çözerek pratik yapabilirsiniz.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Denklemi sağlayan basit değerler (örneğin a=1,b=4,c=1a=1, b=4, c=1 için 12+10−5=17≠202312+10-5=17 \neq 2023 gibi değil, pariteyi sağlayan değerler: a=1,b=1a=1, b=1 için abab tek →c\to c çift olmalı) vererek şıkları eleyebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic