Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme
ABCABC üç basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
ABC−(A+B+C)=KL4 ABC - (A + B + C) = KL4
eşitliği veriliyor. KL4KL4 üç basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?
  1. A
    16
  2. B
    22
  3. C
    24
  4. 25Answer
  5. E
    27

Answer

En büyük ABC sayısının rakamları toplamı 25'tir.
Verilen ABC−(A+B+C)=KL4ABC - (A+B+C) = KL4 eşitliği çözümlendiğinde 99A+9B=KL499A + 9B = KL4 elde edilir. Bu eşitlik C'den bağımsızdır. Eşitliğin sol tarafı 9 parantezine alındığında 9(11A+B)9(11A+B) olur, yani sonuç 9'un katıdır. Sonu 4 ile biten ve 9'un katı olan bir sayı elde etmek için (11A+B)(11A+B) ifadesinin birler basamağı 6 olmalıdır. ABC'nin en büyük olması için A=9 seçilirse, 11(9)+B11(9)+B ifadesinin sonunun 6 olması için B=7 olmalıdır. C değeri denklemi etkilemediğinden, sayıyı maksimize etmek için C=9 seçilir. Böylece ABC=979ABC=979 olur ve rakamları toplamı 9+7+9=259+7+9=25 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen eşitlikteki ABC sayısını basamak değerlerine göre çözümle.
(100A+10B+C)−(A+B+C)=KL4(100A + 10B + C) - (A + B + C) = KL4
Sayı çözümleme (basamak analizi) yöntemi ile harfli ifadeleri katsayılarına ayırmak gerekir.
2
İfadeyi sadeleştir ve ortak çarpan parantezine al.
99A+9B=KL4  ⟹  9(11A+B)=KL499A + 9B = KL4 \implies 9(11A + B) = KL4
C terimleri birbirini götürür (C - C = 0). Sonuç 9'un katı olmalıdır.
3
Birler basamağı analizi yaparak A ve B arasındaki ilişkiyi bul.
9×(11A+B)9 \times (11A + B) işleminin sonucu 4 ile bitmelidir. 9 ile çarpıldığında sonu 4 olan sayı 6'dır (9x6=54). Yani (11A+B)(11A + B) sayısının birler basamağı 6 olmalıdır.
Birler basamağı analizi, olası A ve B değerlerini kısıtlamak için kullanılır.
4
ABC sayısını en büyük yapacak A, B ve C değerlerini belirle.
En büyük sayı için A=9 seçilir. 11(9)+B=99+B11(9) + B = 99 + B ifadesinin sonunun 6 olması için 9+B9+B sonu 6 olmalı, buradan B=7B=7 bulunur. Denklem C'ye bağlı olmadığı için, sayıyı büyütmek adına C=9 seçilir. Sayı: 979.
Maksimum değer istendiği için en büyük basamaktan (yüzler) başlayarak değerler seçilir. C bağımsız değişken olduğu için en büyük rakam seçilebilir.
5
Bulunan rakamların toplamını hesapla.
A+B+C=9+7+9=25A+B+C = 9 + 7 + 9 = 25
Sonuç adımı.

Key Concept

Basamak Analizi ve Bölünebilme Kuralları

Hints

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen çıkarma işlemini yapın.
2
Çıkarma işleminden sonra C'lerin birbirini götürdüğünü göreceksiniz. Kalan ifade 99A+9B99A + 9B olacaktır. Bu ifadenin sonucunun sonu 4 olan bir sayı olması gerekir.
3
9(11A+B)9(11A + B) çarpımının son basamağının 4 olması için (11A+B)(11A + B)'nin son basamağı 6 olmalıdır. A'yı en büyük seçip (9), B'yi buna göre bulun. C denklemde olmadığı için en büyük rakamı verin.

Practice More

Benzer mantıkla ABC−(A+B+C)ABC - (A+B+C) farkının alabileceği en küçük değerin sorulduğu bir problem çözülebilir.

Alternative Method

Modüler aritmetik kullanarak: 99A+9B≡−A−B≡4(mod10)99A + 9B \equiv -A - B \equiv 4 \pmod{10} veya doğrudan değer vererek deneme yapılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic