Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar
aa ve bb aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere,
EKOK(a,b)+EBOB(a,b)=121 \text{EKOK}(a, b) + \text{EBOB}(a, b) = 121
eşitliği veriliyor. Buna göre, a+ba + b toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    95
  2. B
    193
  3. 216Answer
  4. D
    238
  5. E
    278

Answer

Toplamın alabileceği farklı değerlerin toplamı 216'dır.
Aralarında asal sayıların çarpımı EKOK'a, 1 sayısı ise EBOB'a eşittir. Bu kuraldan a⋅b=120a \cdot b = 120 bulunur. 120'nin çarpanlarından aralarında asal olanlar (1,120), (3,40), (5,24) ve (8,15) çiftleridir. Bu çiftlerin toplamları sırasıyla 121, 43, 29 ve 23'tür. Hepsinin toplamı 216 eder.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asal sayıların özelliklerini hatırla ve denkleme uygula.
aa ve bb aralarında asal ise EKOK(a,b)=a⋅b\text{EKOK}(a,b) = a \cdot b ve EBOB(a,b)=1\text{EBOB}(a,b) = 1 olur. Denklem a⋅b+1=121a \cdot b + 1 = 121 haline gelir.
Aralarında asal sayıların en küçük ortak katı çarpımlarına, en büyük ortak böleni ise 1'e eşittir.
2
Çarpım değerini bul ve çarpan çiftlerini listele.
a⋅b=120a \cdot b = 120 bulunur. 120'nin çarpan çiftleri: (1,120), (2,60), (3,40), (4,30), (5,24), (6,20), (8,15), (10,12).
aa ve bb tam sayı olduğu için 120'yi veren tüm ikililer incelenmelidir.
3
Bu çiftlerden aralarında asal olanları belirle.
Aralarında asal olan çiftler: (1, 120), (3, 40), (5, 24), (8, 15).
Ortak böleni 1'den büyük olan çiftler (örneğin 2 ve 60, EBOB=2) elenmelidir.
4
Seçilen çiftler için a+ba+b değerlerini hesapla ve topla.
1+120=1211+120=121, 3+40=433+40=43, 5+24=295+24=29, 8+15=238+15=23. Toplam: 121+43+29+23=216121 + 43 + 29 + 23 = 216.
Soruda istenen, bu farklı toplam değerlerinin genel toplamıdır.

Key Concept

Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına, EBOB'u 1'e eşittir.

Hints

1
Aralarında asal iki sayının EBOB'u daima 1'dir. Bunu denklemde yerine koyarak EKOK değerini, dolayısıyla sayıların çarpımını bulabilirsiniz.
2
Çarpımları bulunan sayı (120) için tüm çarpan çiftlerini (1.120, 2.60...) listeleyin.
3
Listelediğiniz çiftlerden sadece ortak böleni 1 olanları (aralarında asal olanları) seçin. 1 sayısının her sayıyla aralarında asal olduğunu unutmayın.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic