Examkin

Question

Difficulty: HardAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde A(−2,1)A(-2, 1) ve B(4,5)B(4, 5) noktaları veriliyor. [AB][AB] doğru parçasının orta dikme doğrusunun eksenlerle sınırladığı üçgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    34\frac{3}{4}
  2. B
    154\frac{15}{4}
  3. 274\frac{27}{4}Answer
  4. D
    494\frac{49}{4}
  5. E
    272\frac{27}{2}

Answer

Doğru cevap 274\frac{27}{4} birimkaredir.
Soruda istenen orta dikme doğrusunu bulmak için önce [AB][AB]'nin orta noktası M(1,3)M(1,3) ve eğimi m=2/3m=2/3 bulunur. Dikme doğrusunun eğimi −3/2-3/2 olur. MM noktasından geçen ve eğimi −3/2-3/2 olan doğru denklemi 3x+2y−9=03x+2y-9=0'dır. Bu doğrunun eksenleri kestiği noktalar (3,0)(3,0) ve (0,9/2)(0, 9/2) olduğundan, eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı 3⋅9/22=274\frac{3 \cdot 9/2}{2} = \frac{27}{4} birimkaredir.

Step-by-Step Solution

1
[AB][AB] doğru parçasının orta noktası (MM) bulunur.
M(−2+42,1+52)=M(1,3)M(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}) = M(1, 3)
Orta dikme doğrusu, doğru parçasının tam ortasından geçer.
2
ABAB doğrusunun eğimi (mABm_{AB}) ve orta dikme doğrusunun eğimi (mdm_d) hesaplanır.
mAB=5−14−(−2)=46=23m_{AB} = \frac{5-1}{4-(-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. Diklik şartından mAB⋅md=−1⇒md=−32m_{AB} \cdot m_d = -1 \Rightarrow m_d = -\frac{3}{2}
Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir.
3
Orta dikme doğrusunun denklemi yazılır.
y−3=−32(x−1)⇒2(y−3)=−3(x−1)⇒2y−6=−3x+3⇒3x+2y−9=0y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow 2(y-3) = -3(x-1) \Rightarrow 2y - 6 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + 2y - 9 = 0
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi y−y1=m(x−x1)y-y_1 = m(x-x_1) formülüyle bulunur.
4
Doğrunun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
x=0x=0 için 2y=9⇒y=922y=9 \Rightarrow y=\frac{9}{2}. y=0y=0 için 3x=9⇒x=33x=9 \Rightarrow x=3.
Eksenlerle oluşan üçgenin dik kenar uzunluklarını bulmak için eksen kesim noktaları gerekir.
5
Oluşan dik üçgenin alanı hesaplanır.
Alan = 12⋅∣xkesim∣⋅∣ykesim∣=12⋅3⋅92=274\frac{1}{2} \cdot |x_{kesim}| \cdot |y_{kesim}| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{9}{2} = \frac{27}{4} birimkare.
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır.

Key Concept

Bir doğru parçasının orta dikme doğrusu, parçanın orta noktasından geçen ve parçaya dik olan doğrudur. Analitik geometride alan soruları genellikle eksen kesim noktaları üzerinden çözülür.

Hints

1
Önce [AB][AB] doğru parçasının orta noktasını ve eğimini bulunuz.
2
Orta dikme doğrusu, orta noktadan geçer ve eğimi ABAB doğrusunun eğimiyle çarpıldığında −1-1 sonucunu verir (m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1).
3
Bulduğunuz doğru denkleminde x=0x=0 ve y=0y=0 vererek eksenleri kestiği noktaları bulun, ardından dik üçgen alan formülünü uygulayın.

Alternative Method

Geometrik çizim yaparak benzerlik kullanmak mümkündür ancak analitik yöntem (doğru denklemi kurmak) bu soruda daha hızlı sonuç verir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic