Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonlarından; ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre, gg fonksiyonunun grafiği ise orijine göre simetriktir.

Her xx gerçel sayısı için,
f(x)+g(x)=3x2+4x+5 f(x) + g(x) = 3x^2 + 4x + 5
eşitliği sağlandığına göre, (g∘f)(−1)(g \circ f)(-1) değeri kaçtır?
  1. A
    -32
  2. B
    16
  3. 32Answer
  4. D
    53
  5. E
    64

Answer

32
Verilen simetri özelliklerine göre ff çift (f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)), gg ise tek (g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)) fonksiyondur. Denklemde xx yerine −x-x yazılarak f(x)−g(x)=3x2−4x+5f(x)-g(x)=3x^2-4x+5 elde edilir. Orijinal denklemle taraf tarafa işlemler yapıldığında f(x)=3x2+5f(x)=3x^2+5 ve g(x)=4xg(x)=4x bulunur. Buradan (g∘f)(−1)=g(f(−1))=g(8)=32(g \circ f)(-1) = g(f(-1)) = g(8) = 32 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Simetri özelliklerini matematiksel olarak ifade et.
f y-eksenine göre simetrik ise f(-x) = f(x) (Çift fonksiyon); g orijine göre simetrik ise g(-x) = -g(x) (Tek fonksiyon).
Fonksiyonların grafik simetrileri, tek ve çift olma özelliklerini belirler.
2
Verilen denklemde x yerine -x yazarak ikinci bir denklem elde et.
f(-x) + g(-x) = 3(-x)^2 + 4(-x) + 5 => f(x) - g(x) = 3x^2 - 4x + 5.
İki bilinmeyenli (f ve g) bir denklem sistemi oluşturmak için simetri özelliklerini kullanmak gerekir.
3
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak f(x) fonksiyonunu bul.
(f(x) + g(x)) + (f(x) - g(x)) = (3x^2 + 4x + 5) + (3x^2 - 4x + 5) => 2f(x) = 6x^2 + 10 => f(x) = 3x^2 + 5.
g(x) terimlerini yok ederek f(x)'i yalnız bırakmak.
4
İlk denklemden f(x)'i çıkararak g(x) fonksiyonunu bul.
g(x) = (3x^2 + 4x + 5) - (3x^2 + 5) = 4x.
f(x) bulunduktan sonra g(x)'i bulmak için yerine koyma veya çıkarma işlemi yapılır.
5
İstenen (gof)(-1) değerini hesapla.
Önce f(-1) = 3(-1)^2 + 5 = 8. Sonra g(8) = 4(8) = 32.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği önce içteki fonksiyonun değeri bulunur, sonra dıştaki fonksiyonda yerine yazılır.

Key Concept

Tek ve Çift Fonksiyonların Simetri Özellikleri

Hints

1
Grafiği y-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar 'çift', orijine göre simetrik olanlar 'tek' fonksiyondur.
2
Çift fonksiyonlarda f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), tek fonksiyonlarda g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) eşitliğini kullanın.
3
Verilen denklemde xx yerine −x-x yazarak ikinci bir denklem elde edin ve bu iki denklemi f(x)f(x) ve g(x)g(x)'i bulmak için taraf tarafa toplayıp çıkarın.

Practice More

Tek ve çift fonksiyonların türevleri veya integralleri ile ilgili özellikleri inceleyin.

Alternative Method

Polinom eşitliği yöntemini kullanmak: f(x) çift olduğundan sadece çift dereceli terimler (ax2+cax^2+c), g(x) tek olduğundan sadece tek dereceli terimler (bxbx) içermelidir. f(x)+g(x)=ax2+bx+c=3x2+4x+5f(x)+g(x) = ax^2+bx+c = 3x^2+4x+5 diyerek katsayıları eşleştirebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic