Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

Kenar uzunlukları 6 cm ve 232\sqrt{3} cm olan dikdörtgen biçimindeki bir kağıttan, bir kenarı dikdörtgenin kenarı ile çakışacak biçimde, alanı en büyük olan düzgün altıgen kesilip çıkarılacaktır. Buna göre, elde edilen bu düzgün altıgenin çevresi kaç santimetredir?

  1. 12Answer
  2. B
    636\sqrt{3}
  3. C
    18
  4. D
    939\sqrt{3}
  5. E
    24

Answer

Elde edilen düzgün altıgenin çevresi 12 cm'dir.
Dikdörtgen içine yerleştirilebilecek en büyük düzgün altıgen belirlenirken iki farklı oryantasyon kontrol edilmelidir. Dikdörtgenin boyutları 6 ve 232\sqrt{3}'tür. Altıgenin bir kenarı (aa) 6 cm'lik kenara çakışık olduğunda, altıgenin yüksekliği olan a3a\sqrt{3} değeri dikdörtgenin diğer kenarı 232\sqrt{3}'e sığmalıdır (a3≤23⇒a≤2a\sqrt{3} \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq 2). Diğer boyut 2a≤62a \leq 6 zaten sağlanır. Diğer oryantasyonda ise aa en fazla 3\sqrt{3} olabilir. a=2a=2 değeri daha büyük olduğundan çevre 6×2=126 \times 2 = 12 cm bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgenin kenar uzunluklarını ve düzgün altıgenin geometrik özelliklerini belirle.
Dikdörtgen boyutları: 6 cm ve 232\sqrt{3} cm. Düzgün altıgenin bir kenarına aa dersek; köşeden köşeye genişliği (uzun köşegen doğrultusu) 2a2a, kenardan kenara yüksekliği (kısa köşegen doğrultusu) a3a\sqrt{3} olur.
Düzgün altıgenin yerleşimi için boyut sınırlarını tespit etmek gerekir.
2
Altıgenin bir kenarının, dikdörtgenin 6 cm'lik kenarı üzerinde olduğu 1. Durumu incele.
Genişlik sınırı: 2a≤6⇒a≤32a \leq 6 \Rightarrow a \leq 3. Yükseklik sınırı: a3≤23⇒a≤2a\sqrt{3} \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq 2. Bu durumda en büyük kenar a=2a=2 cm olur.
Altıgenin dikdörtgenin dışına taşmaması için her iki boyuttaki kısıtlamaların en küçüğü esas alınır.
3
Altıgenin bir kenarının, dikdörtgenin 232\sqrt{3} cm'lik kenarı üzerinde olduğu 2. Durumu incele.
Genişlik sınırı: 2a≤23⇒a≤32a \leq 2\sqrt{3} \Rightarrow a \leq \sqrt{3}. Yükseklik sınırı: a3≤6⇒a≤23a\sqrt{3} \leq 6 \Rightarrow a \leq 2\sqrt{3}. Bu durumda en büyük kenar a=3a=\sqrt{3} cm olur.
Alternatif yerleşim ihtimali kontrol edilerek maksimum alan (dolayısıyla maksimum kenar) aranır.
4
İki durumu karşılaştır ve çevre hesapla.
1. durumda a=2a=2, 2. durumda a=3a=\sqrt{3} ( ≈1,73\,\approx 1,73) bulundu. En büyük altıgen için a=2a=2 seçilir. Çevre = 6×2=126 \times 2 = 12 cm.
Soru 'alanı en büyük' olanı sorduğu için kenarı daha büyük olan seçenek doğrudur.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde uzunluk bağıntıları ve geometrik yerleşim optimizasyonu.

Hints

1
Düzgün altıgenin bir kenarı aa ise, karşılıklı iki kenarı arasındaki dik uzaklık (yükseklik) a3a\sqrt{3} ve en uzak iki köşesi arasındaki mesafe 2a2a'dır.
2
Altıgenin bir kenarının dikdörtgenin uzun kenarına mı yoksa kısa kenarına mı çakışık olması gerektiği olmak üzere iki ihtimali de test edin.

Alternative Method

Çizim yaparak görselleştirme: 232\sqrt{3} yaklaşık 3.46 cm'dir. 6 cm'lik kenar üzerine a=2a=2 cm'lik altıgen konduğunda yükseklik 232\sqrt{3} tam sığar. Diğer türlü konduğunda genişlik sınırlayıcı olur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic