Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar

xx ve yy, 5'ten büyük aralarında asal doğal sayılardır.

x+24y=10x + \frac{24}{y} = 10

olduğuna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. 15Answer
  3. C
    20
  4. D
    25
  5. E
    33

Answer

15
Verilen eşitlikte xx ve yy'nin doğal sayı olması için yy'nin 24'ü tam bölmesi gerekir. Ayrıca soruda xx ve yy'nin 5'ten büyük olduğu belirtilmiştir. Bu şartlara uyan yy değerleri 6, 8, 12 ve 24'tür. Bu değerlere karşılık gelen xx değerleri hesaplandığında sadece x=7x=7 ve y=8y=8 çiftinin aralarında asal olduğu görülür. Bu sayıların toplamı 15'tir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi düzenle
x=10−24yx = 10 - \frac{24}{y}
xx'in değerini yy'ye bağlı olarak ifade ederek çözüm kümesini daraltmak için.
2
yy için olası değerleri belirle
yy, 24'ü tam bölen ve 5'ten büyük doğal sayılar olmalıdır: {6,8,12,24}\{6, 8, 12, 24\}.
xx'in bir doğal sayı olması için 24y\frac{24}{y} ifadesi tam sayı olmalı ve sorudaki y>5y > 5 şartı sağlanmalıdır.
3
Her yy değeri için xx'i bul ve aralarında asallık durumunu kontrol et
- y=6⇒x=10−4=6y=6 \Rightarrow x=10-4=6. (6 ile 6 aralarında asal değil)
- y=8⇒x=10−3=7y=8 \Rightarrow x=10-3=7. (7 ile 8 aralarında asal, x>5x>5 sağlanıyor) ✔
- y=12⇒x=10−2=8y=12 \Rightarrow x=10-2=8. (8 ile 12 aralarında asal değil)
- y=24⇒x=10−1=9y=24 \Rightarrow x=10-1=9. (9 ile 24 aralarında asal değil)
Soruda verilen 'aralarında asal' ve 'x>5x>5' şartlarını sağlayan tek çifti bulmak için.
4
Bulunan değerleri topla
x+y=7+8=15x + y = 7 + 8 = 15
Sonuç değeri hesaplanarak doğru seçeneğe ulaşılır.

Key Concept

İki doğal sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif bölenlerinin olmaması gerekir. Bu tür denklemlerde, tam sayı bölenleri üzerinden deneme yapılarak ve tanım kontrol edilerek çözüm bulunur.

Hints

1
xx'i yalnız bırakarak yy'ye bağlı bir denklem (x=10−24yx = 10 - \frac{24}{y}) elde etmeye çalışın.
2
xx'in doğal sayı olması için yy'nin 24'ü tam bölmesi gerekir. y>5y > 5 şartını sağlayan bölenleri listeleyin.
3
Bulduğunuz (x,y)(x, y) çiftlerinin en büyük ortak böleninin (EBOB) 1 olup olmadığını kontrol etmeyi unutmayın.

Alternative Method

Denklem xy+24=10yxy + 24 = 10y şeklinde düzenlenip y(10−x)=24y(10-x) = 24 olarak yazılabilir. Buradan 10−x10-x ifadesinin 24'ün bir böleni olduğu görülür.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic