Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

ff birim fonksiyon ve gg sabit fonksiyon olmak üzere,

f(4x+a−1)=(b−2)x2+(c+1)x+5f(4x + a - 1) = (b - 2)x^2 + (c + 1)x + 5

ve

g(x)=a+b+cg(x) = a + b + c

eşitlikleri veriliyor. Buna göre, g(f(2026))g(f(\sqrt{2026})) ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    7
  2. B
    9
  3. 11Answer
  4. D
    13
  5. E
    15

Answer

Sabit fonksiyonun değeri olan 11
Birim fonksiyon tanımı gereği f(4x+a−1)f(4x+a-1) ifadesi doğrudan 4x+a−14x+a-1 değerine eşit olmalıdır. Eşitliğin diğer tarafındaki (b−2)x2+(c+1)x+5(b-2)x^2 + (c+1)x + 5 ifadesiyle terim katsayıları karşılaştırıldığında x2x^2 terimi olmadığı için b−2=0b-2=0 (yani b=2b=2), xx terimi için c+1=4c+1=4 (yani c=3c=3) ve sabit terim için a−1=5a-1=5 (yani a=6a=6) bulunur. g(x)g(x) fonksiyonu a+b+ca+b+c toplamına eşit bir sabit fonksiyon olduğundan g(x)=6+2+3=11g(x) = 6+2+3 = 11 olur. Sabit fonksiyon her girdiyi aynı sonuca götürdüğünden cevap 11'dir.

Step-by-Step Solution

1
Birim fonksiyon tanımını uygula
f(4x+a−1)=4x+a−1f(4x + a - 1) = 4x + a - 1
Birim (özdeş) fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen f(x)=xf(x)=x kuralına sahip fonksiyondur.
2
Verilen denklemdeki katsayıları eşle
(b−2)x2+(c+1)x+5=4x+a−1(b - 2)x^2 + (c + 1)x + 5 = 4x + a - 1
Fonksiyonun kuralı gereği polinomların eşitliği prensibi uygulanır.
3
a,b,ca, b, c değerlerini çöz
b−2=0⇒b=2b-2=0 \Rightarrow b=2; c+1=4⇒c=3c+1=4 \Rightarrow c=3; 5=a−1⇒a=65=a-1 \Rightarrow a=6
x2x^2 terimi bulunmadığı için katsayısı 0, xx teriminin katsayısı 4 ve sabit terimler birbirine eşit olmalıdır.
4
g(x)g(x) fonksiyonunun değerini bul
g(x)=6+2+3=11g(x) = 6 + 2 + 3 = 11
g(x)=a+b+cg(x) = a + b + c olarak verilmiştir.
5
Bileşke işleminin sonucunu belirle
g(f(2026))=11g(f(\sqrt{2026})) = 11
gg fonksiyonu sabit fonksiyon olduğundan, içine yazılan her değer için aynı sonucu (11) verecektir.

Key Concept

Birim fonksiyon f(x)=xf(x)=x iken sabit fonksiyon g(x)=cg(x)=c şeklindedir ve girdi ne olursa olsun çıktı sabittir.

Hints

1
Birim fonksiyon içindeki her şeyi olduğu gibi dışarı çıkarır; yani f(u)=uf(u) = u olur.
2
ff fonksiyonunun sonucunu x2x^2, xx ve sabit terimlerin katsayılarını eşitleyerek a,b,ca, b, c sayılarını bulun.
3
g(x)g(x) sabit bir sayıya eşit olduğundan, içindeki f(2026)f(\sqrt{2026}) ifadesinin değerini hesaplamanıza gerek yoktur.

Practice More

Birim ve sabit fonksiyonların bileşke içindeki davranışlarını pekiştirmek için rasyonel ifadeli sabit fonksiyon sorularını çözebilirsiniz.

Alternative Method

Birim fonksiyon kuralını uyguladıktan sonra doğrudan g(x)=a+b+cg(x) = a+b+c ifadesini xx yerine değer vermeden, sadece katsayı eşitliğinden gelen değerleri yerine koyarak çözebilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic