Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

Rakamları sıfırdan farklı, üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamları toplamının 2121 katına eşittir. Buna göre, A+B+CA+B+C toplamı kaçtır?

  1. A
    15
  2. 18Answer
  3. C
    19
  4. D
    21
  5. E
    24

Answer

Doğru cevap 18 değeridir.
Denklem 79A=11B+20C79A = 11B + 20C şeklinde sadeleştirilir. Rakam kısıtlamaları (1-9 arası) dikkate alındığında, bu eşitliği sağlayan tek çözüm kümesi A=3A=3, B=7B=7, C=8C=8 olarak bulunur. Bu rakamların toplamı 3+7+8=183+7+8=18 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.
ABC=21⋅(A+B+C)ABC = 21 \cdot (A + B + C)
Soruda sayının, rakamları toplamının 21 katı olduğu belirtilmiştir.
2
ABCABC sayısını basamak değerlerine göre çözümleyin.
100A+10B+C=21A+21B+21C100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C
Üç basamaklı sayıyı çözümleyerek rakamlar arasındaki ilişkiyi bulmak gerekir.
3
Benzer terimleri bir araya getirerek denklemi sadeleştirin.
79A=11B+20C79A = 11B + 20C
100A−21A=79A100A - 21A = 79A, 21B−10B=11B21B - 10B = 11B, 21C−C=20C21C - C = 20C.
4
AA, BB ve CC birer rakam olduğu için (0<A,B,C≤90 < A,B,C \le 9), AA için olası değerleri test edin.
Eşitliğin sağ tarafının maksimum değeri 11(9)+20(9)=27911(9) + 20(9) = 279 olduğundan, 79A≤27979A \le 279 olmalıdır. Bu durumda AA sadece 1, 2 veya 3 olabilir.
Rakamlar 9'dan büyük olamayacağı için A'nın alabileceği değerler sınırlıdır.
5
A=3A=3 değerini denklemde yerine koyarak BB ve CC'yi bulun.
79(3)=23779(3) = 237. 237=11B+20C237 = 11B + 20C. Bu eşitliği sağlayan tek rakam ikilisi B=7B=7 ve C=8C=8'dir (11⋅7+20⋅8=77+160=23711 \cdot 7 + 20 \cdot 8 = 77 + 160 = 237).
A=1A=1 ve A=2A=2 için tamsayı çözüm bulunamaz. A=3A=3 için çözüm ABC=378ABC = 378 sayısıdır.
6
Bulunan rakamların toplamını hesaplayın.
A+B+C=3+7+8=18A+B+C = 3 + 7 + 8 = 18
Sonuç istenmektedir.

Key Concept

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen eşitliği yazınız.
2
Eşitliği sadeleştirdiğinizde 79A=11B+20C79A = 11B + 20C denklemini elde edeceksiniz. Burada AA'nın alabileceği maksimum değeri bulmaya çalışın.
3
BB ve CC en fazla 9 olabilir, bu nedenle 79A79A sayısı 279'dan büyük olamaz. A=3A=3 değerini deneyerek BB ve CC'yi bulun.

Alternative Method

Denklem 79A−11B=20C79A - 11B = 20C şeklinde yazılabilir. Sağ taraf 10'un katı olduğu için sol tarafın da birler basamağı 0 olmalıdır. 79A79A'nın birler basamağı ile 11B11B'nin birler basamağı aynı olmalıdır. A=3A=3 için 79⋅3=23779 \cdot 3 = 237 (sonu 7), B=7B=7 için 11⋅7=7711 \cdot 7 = 77 (sonu 7). Farkları 237−77=160237-77=160, buradan C=8C=8 bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic