Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

xx ve yy gerçel sayıları için; x⋅yx \cdot y çarpımının bir rasyonel sayı, x+yx + y toplamının ise bir irrasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. A
    x ve y irrasyonel sayılardır.
  2. B
    x irrasyonel ise y rasyoneldir.
  3. x rasyonel ise y irrasyoneldir.Answer
  4. D
    x sıfırdan farklı ise y irrasyoneldir.
  5. E
    x² + y² toplamı rasyonel sayıdır.

Answer

x rasyonel ise y irrasyoneldir
Soruda verilen iki koşul vardır: çarpım rasyonel (QQ), toplam irrasyonel (Q′Q'). Eğer xx bir rasyonel sayı ise, toplamın (x+yx+y) irrasyonel olabilmesi için yy mutlaka irrasyonel olmalıdır (Çünkü Rasyonel + Rasyonel = Rasyonel olurdu). Bu durumda xx rasyonel, yy irrasyoneldir. Çarpımlarının (x⋅yx \cdot y) rasyonel olabilmesi için ise rasyonel olan çarpanın mutlaka 0 olması gerekir (0 hariç rasyonel ×\times irrasyonel = irrasyoneldir). Dolayısıyla x=0x=0 ve yy irrasyonel olduğunda önerme her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen koşulları sağlayan olası (x, y) ikililerini analiz et.
Durum 1: Her ikisi de irrasyonel (Örn: x=2,y=2→x⋅y=2∈Q,x+y=22∈Q′x=\sqrt{2}, y=\sqrt{2} \rightarrow x \cdot y=2 \in Q, x+y=2\sqrt{2} \in Q')
Durum 2: Biri 0 (rasyonel), diğeri irrasyonel (Örn: x=0,y=2→x⋅y=0∈Q,x+y=2∈Q′x=0, y=\sqrt{2} \rightarrow x \cdot y=0 \in Q, x+y=\sqrt{2} \in Q')
Çarpımın rasyonel olması için ya birbirini kökten kurtarmalılar ya da biri 0 olmalıdır.
2
Seçenekleri bu durumlara göre test et.
A seçeneği Durum 2'de yanlıştır (x=0 rasyoneldir).
Her zaman doğru olması için tüm durumlarda geçerli olmalıdır.
3
Doğru seçeneği mantıksal çıkarımla kanıtla.
Eğer xx rasyonel ise, x+yx+y'nin irrasyonel olması için yy KESİNLİKLE irrasyonel olmalıdır. (Rasyonel + İrrasyonel = İrrasyonel). Ayrıca xx rasyonel ise, çarpımın rasyonel kalması için x=0x=0 olmak zorundadır (çünkü yy irrasyoneldir). x=0x=0 ve y=2y=\sqrt{2} durumu koşulları sağlar.
Rasyonel sayılar toplama işlemine göre kapalıdır; bir rasyonel ile bir rasyonelin toplamı irrasyonel olamaz.

Key Concept

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Özellikleri

Hints

1
0 sayısının rasyonel bir sayı olduğunu ve çarpma işlemindeki etkisini düşünün.
2
Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı her zaman irrasyoneldir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

More questions from this topic