Examkin

Question

Difficulty: Very hardTek ve Çift Sayılar
x,yx, y ve zz tam sayıları için,
x2⋅y−x=4z+3 x^2 \cdot y - x = 4z + 3
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?

  1. A
    2y+x2y + x
  2. B
    x⋅zx \cdot z
  3. C
    y+zy + z
  4. 3x+5y+73x + 5y + 7Answer
  5. E
    x+y+2zx + y + 2z

Answer

3x+5y+73x + 5y + 7 ifadesi kesinlikle çift sayıdır.
Verilen eşitlikte 4z+34z+3 daima tektir. Bu durumda x(xy−1)x(xy-1) çarpımı tek olmalıdır. İki sayının çarpımı tek ise her iki sayı da tek olmalıdır. Buradan xx sayısının tek olduğu kesinleşir. İkinci çarpan olan (xy−1)(xy-1) ifadesinin tek olması için xyxy çarpımının çift olması gerekir. xx tek olduğuna göre, çarpımın çift olması için yy kesinlikle çift olmalıdır. zz sayısı ise denklemde sadece katsayı ile bulunduğu için tek veya çift olabilir (belirsizdir). Seçenekler incelendiğinde; 3x3x (Tek) + 5y5y (Çift) + 77 (Tek) işlemi T+C\c+T=C\ciftT + Ç + T = Çift sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4z+34z + 3 ifadesinin tek/çift durumunu analiz et.
4z4z her zaman çifttir, bu nedenle 4z+34z + 3 her zaman tek sayıdır.
Bir tam sayının 4 ile çarpımı çifttir, buna tek sayı eklenirse sonuç tek olur.
2
Sol taraftaki x2⋅y−xx^2 \cdot y - x ifadesini çarpanlarına ayırarak analiz et.
x(x⋅y−1)=Tekx(x \cdot y - 1) = \text{Tek} sonucuna ulaşılır.
Çarpım sonucunun tek olması için çarpanların her ikisinin de tek olması gerekir.
3
xx ve yy tam sayılarının tek/çift durumlarını belirle.
1. çarpan xx tek olmalıdır. 2. çarpan (x⋅y−1)(x \cdot y - 1) tek ise, x⋅yx \cdot y çift olmalıdır. xx tek olduğuna göre, yy çift olmak zorundadır.
Tek sayı ile çift sayının çarpımı çifttir (T⋅C\c=C\cT \cdot Ç = Ç). zz ise denklemde serbest değişkendir, tek veya çift olabilir.
4
Seçenekleri x=Tekx=\text{Tek}, y=C¸ifty=\text{Çift} ve z=Belirsizz=\text{Belirsiz} durumuna göre değerlendir.
3x+5y+73x + 5y + 7 seçeneği: 3(T)+5(C\c)+T=T+C\c+T=C¸ift3(T) + 5(Ç) + T = T + Ç + T = \text{Çift}.
İki tek sayının toplamı çifttir.

Key Concept

Tam sayılarda çarpma ve toplama işlemlerinin tek/çift sayı özelliklerinin (parite) analizi.

Hints

1
Eşitliğin sağ tarafındaki 4z+34z + 3 ifadesinin tek mi yoksa çift mi olduğunu belirleyerek başlayın.
2
Sağ taraf tek sayı olduğuna göre, sol taraftaki x2⋅y−xx^2 \cdot y - x ifadesini xx parantezine alarak çarpanların tek/çift durumunu inceleyin.
3
x(xy−1)x(xy-1) çarpımı tek ise xx tektir ve xy−1xy-1 tektir. Buradan yy'nin paritesini bulup seçeneklerde yerine koyun. zz'nin belirsiz olduğunu unutmayın.

Alternative Method

Değer vererek çözme: z=0z=0 için denklem x2y−x=3x^2y - x = 3 olur. Bu eşitliği sağlayan x=1,y=4x=1, y=4 (veya x=−1,y=4x=-1, y=4) değerlerini seçeneklerde deneyerek eleme yapabilirsiniz.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Tek ve Çift Sayılar

More questions from this topic