Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
(f∘f)(x)=9x+12 (f \circ f)(x) = 9x + 12
eşitliği sağlanmaktadır.

ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenini ordinatı negatif olan bir noktada kestiğine göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. -12Answer
  2. B
    -6
  3. C
    0
  4. D
    9
  5. E
    30

Answer

f(2) değeri -12'dir
Doğrusal bir fonksiyon f(x)=ax+bf(x)=ax+b formundadır. (f∘f)(x)=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = a^2x + ab+b olur. Verilen 9x+129x+12 ile eşleştirildiğinde a2=9a^2=9 bulunur, yani a=3a=3 veya a=−3a=-3 olabilir. Soruda yy-eksenini negatif tarafta kestiği (b<0b<0) belirtildiği için, a=−3a=-3 durumu seçilmelidir (çünkü a=3a=3 için b=3b=3 pozitif çıkar, a=−3a=-3 için b=−6b=-6 negatif çıkar). Böylece fonksiyon f(x)=−3x−6f(x)=-3x-6 olarak bulunur. x=2x=2 için sonuç -12 olur.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu belirle.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b olsun.
Soruda ff'in doğrusal fonksiyon olduğu belirtilmiştir.
2
Bileşke fonksiyonu (f∘f)(x)(f \circ f)(x) hesapla.
(f∘f)(x)=f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b
Verilen eşitliği kullanabilmek için sol tarafı aa ve bb cinsinden ifade etmemiz gerekir.
3
Elde edilen ifadeyi verilen eşitlikle (9x+129x + 12) karşılaştırarak katsayıları eşitle.
a2x+(ab+b)=9x+12a^2x + (ab+b) = 9x + 12. Buradan: 1) a2=9a^2 = 9, 2) ab+b=12ab + b = 12.
Polinom eşitliği gereği, xx'in katsayıları ve sabit terimler karşılıklı olarak eşit olmalıdır.
4
aa değerini bul ve olası durumları incele.
a2=9a^2 = 9 ise a=3a = 3 veya a=−3a = -3 olabilir.
Bir sayının karesi 9 ise, bu sayı 3 veya -3 olabilir.
5
yy-eksenini negatif noktada kesme şartını (f(0)=b<0f(0) = b < 0) kullanarak doğru durumu belirle.
Durum 1 (a=3a=3): 3b+b=12⇒4b=12⇒b=33b + b = 12 \Rightarrow 4b = 12 \Rightarrow b = 3 (Pozitif, elenir).
Durum 2 (a=−3a=-3): −3b+b=12⇒−2b=12⇒b=−6-3b + b = 12 \Rightarrow -2b = 12 \Rightarrow b = -6 (Negatif, şartı sağlar).
Soruda fonksiyonun yy-eksenini negatif tarafta kestiği belirtilmiştir, bu b<0b < 0 demektir.
6
Doğru fonksiyonu oluştur ve f(2)f(2) değerini hesapla.
f(x)=−3x−6f(x) = -3x - 6 olduğuna göre, f(2)=−3(2)−6=−6−6=−12f(2) = -3(2) - 6 = -6 - 6 = -12.
Belirlenen katsayılarla fonksiyon değeri bulunur.

Key Concept

Bileşke Fonksiyon ve Polinom Eşitliği

Hints

1
Doğrusal fonksiyonun genel formunu f(x)=ax+bf(x) = ax + b olarak yazıp, (f∘f)(x)(f \circ f)(x) ifadesini bu form üzerinden hesaplayın.
2
(f∘f)(x)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b ifadesini sorudaki 9x+129x + 12 ile eşleştirin. xx'in katsayısı olan a2a^2'nin 9 olması ne anlama gelir?
3
aa sayısı 3 veya -3 olabilir. Ancak soruda fonksiyonun y-eksenini 'negatif' tarafta kestiği (b<0b < 0) belirtilmiş. Hangi aa değeri için bb negatif çıkıyor, kontrol edin.

Practice More

Benzer bir soruyu f(x)f(x) azalan bir fonksiyon ise şartıyla çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Grafiksel yaklaşım: f(f(x))f(f(x)) fonksiyonunun eğimi 9 olduğuna göre, f(x)f(x)'in eğimi ya 3 ya da -3 olmalıdır. Eğimin karesi bileşke eğimini verir (m2=9m^2=9).
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic