Examkin

Question

Difficulty: HardPozitif ve Negatif Sayılar

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x−z>∣x+z∣ x - z > |x + z|
x+y<0 x + y < 0
y>z y > z

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    z<x<yz < x < y
  2. B
    y2<x2<z2y^2 < x^2 < z^2
  3. x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2Answer
  4. D
    z2<y2<x2z^2 < y^2 < x^2
  5. E
    y<z<xy < z < x

Answer

Sayıların karelerinin sıralaması x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 şeklindedir.
Verilen x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliği, xx'in pozitif ve zz'nin negatif olduğunu garanti eder. İkinci bilgi (x+y<0x+y<0), pozitif xx'e rağmen toplamın negatif olması nedeniyle yy'nin negatif olduğunu ve sıfıra olan uzaklığının xx'ten fazla olduğunu gösterir (∣y∣>∣x∣|y|>|x|). Üçüncü bilgi (y>zy>z), her ikisi de negatif olan bu sayılardan zz'nin daha solda (daha küçük) olduğunu, dolayısıyla sıfıra en uzak olanın zz olduğunu kanıtlar (∣z∣>∣y∣|z|>|y|). Sıfıra uzaklık (mutlak değer) arttıkça kare de büyüdüğünden, doğru sıralama x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 olur.

Step-by-Step Solution

1
x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliğini analiz et.
x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğu tespit edilir.
Bir sayının (x−zx-z) mutlak değerden büyük olması için pozitif olması gerekir. Ayrıca işaret analizi yapıldığında bu eşitsizlik sadece xx pozitif ve zz negatifken sağlanır.
2
x+y<0x + y < 0 eşitsizliğini ve xx'in işaretini kullanarak yy'yi yorumla.
y<−xy < -x olduğu için yy negatiftir ve mutlak değeri xx'ten büyüktür (∣y∣>x|y| > x).
Pozitif bir sayı (xx) ile toplandığında sonuç negatif oluyorsa, diğer sayı (yy) mutlak değerce daha büyük bir negatif sayı olmalıdır.
3
y>zy > z eşitsizliğini sayı doğrusu ve mutlak değer açısından değerlendir.
zz, yy'den daha küçüktür (daha soldadır), bu nedenle ∣z∣>∣y∣|z| > |y| olur.
Negatif sayılarda küçüldükçe sıfırdan uzaklaşılır, yani mutlak değer büyür.
4
Elde edilen mutlak değer ilişkilerini kare alma işlemiyle sırala.
∣z∣>∣y∣>∣x∣|z| > |y| > |x| olduğundan z2>y2>x2z^2 > y^2 > x^2 elde edilir.
Mutlak değeri büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Hints

1
İlk eşitsizlikte xx ve zz'nin işaretlerini belirlemeye çalışın. Farkları (x−zx-z), toplamlarının mutlak değerinden büyükse, bu sayılar zıt işaretli olabilir mi?
2
x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliği ancak x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğunda sağlanır. Bunu doğruladıktan sonra diğer eşitsizlikleri kullanarak sayıların mutlak değerlerini (sıfıra uzaklıklarını) kıyaslayın.

Practice More

Benzer mantıkla a⋅b<0a \cdot b < 0 ve ∣a∣<∣b∣|a| < |b| verip a+ba+b toplamının işaretini soran sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı vererek deneme (Değer verme) yöntemi: x=2x=2 seçelim. x+y<0x+y<0 olması için y=−3y=-3 olsun (∣y∣>x|y|>x sağlanır). y>zy>z olması için z=−5z=-5 olsun. Şartları kontrol edelim: 2−(−5)>∣2−5∣⇒7>32 - (-5) > |2-5| \Rightarrow 7 > 3 (Doğru). Bu değerlerin kareleri: x2=4,y2=9,z2=25x^2=4, y^2=9, z^2=25. Sıralama x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 olur.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Pozitif ve Negatif Sayılar

More questions from this topic