Examkin

Pozitif ve Negatif Sayılar

32 questions

Question 1Question →

Sıfırdan farklı a,ba, b ve cc gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitlik ve eşitsizlikler sağlanmaktadır:

ac>0 \frac{a}{c} > 0
a⋅b<0 a \cdot b < 0
a+b>0 a + b > 0
b>c b > c

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a+bc<0\frac{a+b}{c} < 0

Answer

a+bc<0\frac{a+b}{c} < 0 ifadesi kesinlikle doğrudur.
Doğru seçenekte verilen kesirli ifadenin işaretini bulmak için pay ve paydanın işaretlerine bakılır. Soruda a+b>0a+b > 0 olarak verilmiştir, yani pay pozitiftir. İşaret analizi sonucunda cc'nin negatif olduğu bulunmuştur. Pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü daima negatiftir (<0< 0). Bu nedenle bu eşitsizlik kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
İşaret ilişkilerini analiz et
ac>0\frac{a}{c} > 0 olduğu için aa ve cc aynı işaretlidir (+,++,+ veya −,−-,-). a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğu için aa ve bb zıt işaretlidir.
Çarpma ve bölme işlemlerinde sonuç işareti kuralı.
2
Olası durumları b>cb > c şartı ile ele
Durum 1: a(+),c(+),b(−)a(+), c(+), b(-) olsa b>cb > c sağlanamaz (negatif > pozitif olamaz). Durum 2: a(−),c(−),b(+)a(-), c(-), b(+) olsa b>cb > c sağlanır (pozitif > negatif). Demek ki işaretler: a(−),b(+),c(−)a(-), b(+), c(-).
Büyüklük ilişkisi işaretleri kesinleştirmeyi sağlar.
3
Seçenekleri verilen a+b>0a + b > 0 bilgisiyle test et
Pay kısmı (a+ba+b) soruda pozitif olarak verilmiştir. Payda (cc) negatiftir. Pozitifin negatife bölümü (++ / −-) negatiftir (<0< 0).
Kesinlik sorusu olduğu için işaretlerin bölümü incelenir.

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Yorumlama

Hints

1
Önce ac>0\frac{a}{c} > 0 ve a⋅b<0a \cdot b < 0 ifadelerini kullanarak a,ba, b ve cc arasındaki işaret gruplandırmasını yapın.
2
bb ve cc'nin işaretlerinin zıt olduğunu bulduktan sonra, b>cb > c eşitsizliğinin sağlanması için hangisinin pozitif hangisinin negatif olması gerektiğini düşünün.
Estimated Time:1m 30s
Question 2Question →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler ve eşitlikler verilmiştir:

x⋅z=−y2x \cdot z = -y^2
x2⋅z3<0x^2 \cdot z^3 < 0
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x \cdot (y + z) < 0

Answer

xx pozitif, yy ve zz negatif olduğu için, x⋅(y+z)<0x \cdot (y + z) < 0 ifadesi daima doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden adım adım ilerlendiğinde sayıların işaretleri şu şekilde bulunur: zz negatiftir (çünkü x2x^2 pozitifken çarpım negatiftir), xx pozitiftir (çünkü zz ile çarpımı −y2-y^2 yani negatif bir sonuç verir), ve yy negatiftir (çünkü üçünün çarpımı pozitiftir). Doğru seçenek, pozitif bir sayı (xx) ile iki negatif sayının toplamının (y+zy+z) çarpımını içerir. Negatif iki sayının toplamı kesinlikle negatiftir. Pozitif ve negatifin çarpımı daima negatiftir (<0<0), bu nedenle bu seçenek her zaman doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
x2⋅z3<0x^2 \cdot z^3 < 0 eşitsizliğini incele.
x2x^2 daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için z3z^3 negatif olmalıdır. Bu durumda **z<0z < 0** sonucuna ulaşılır.
Çift kuvvetler pozitiftir, tek kuvvetler tabanın işaretini korur.
2
x⋅z=−y2x \cdot z = -y^2 eşitliğini incele.
y2y^2 pozitiftir, bu yüzden −y2-y^2 negatiftir. Yani x⋅zx \cdot z çarpımı negatiftir. zz negatif olduğuna göre, **x>0x > 0** (pozitif) olmalıdır.
Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir.
3
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0 eşitsizliğini incele.
xx pozitif, zz negatiftir. x⋅zx \cdot z negatiftir. Çarpımın pozitif olması için yy de negatif olmalıdır. Sonuç: **y<0y < 0**.
Üç sayının çarpımı pozitifse ve ikisinin çarpımı negatifse, üçüncü sayı negatif olmalıdır.
4
Seçenekleri işaretlere (x:+,y:−,z:−x:+, y:-, z:-) göre değerlendir.
y+zy + z işlemi (negatif + negatif) negatiftir. xx pozitiftir. Çarpım x⋅(y+z)x \cdot (y + z) (pozitif ⋅\cdot negatif) daima negatiftir (<0< 0).
İşaret kuralı: (+)⋅(−)=(−)(+) \cdot (-) = (-).

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

Hints

1
Öncelikle kuvveti çift olan terimlerden (x2,y2x^2, y^2) başlayarak sayıların işaretlerini belirlemeye çalışın.
2
x2x^2 ve y2y^2 daima pozitiftir. x2⋅z3<0x^2 \cdot z^3 < 0 olması zz'nin işaretini verir. x⋅z=−y2x \cdot z = -y^2 olması ise xx ve zz'nin zıt işaretli olduğunu gösterir.
3
İşaretleri x(+)x(+), y(−)y(-), z(−)z(-) olarak bulduktan sonra, seçeneklerdeki işlemlerin sonucunun işaretini kontrol edin. Negatif iki sayının toplamı (y+zy+z) negatiftir.
Estimated Time:2m 30s
Question 3Question →
Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
∣x∣x+∣y∣y+∣z∣z=−1 \frac{|x|}{x} + \frac{|y|}{y} + \frac{|z|}{z} = -1
x⋅y<0 x \cdot y < 0
y−z<0 y - z < 0
bilgileri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0

Answer

x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0 ifadesi daima doğrudur.
Verilen eşitlikten hareketle iki sayının negatif, bir sayının pozitif olduğu bulunur. xx ve yy'nin çarpımı negatif olduğundan zıt işaretlidirler, bu durumda üçüncü sayı olan zz kesinlikle negatiftir. y<zy < z bilgisiyle yy'nin de negatif olduğu, dolayısıyla xx'in pozitif olduğu kesinleşir. İstenen ifadede pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında (x−yx-y) pay pozitif olur; payda (zz) ise negatiftir. Artının eksiye bölümü daima negatiftir.

Step-by-Step Solution

1
İlk eşitliği analiz et.
∣a∣a\frac{|a|}{a} ifadesi a>0a>0 için 11, a<0a<0 için −1-1 değerini alır. Toplamın −1-1 olması için terimlerden ikisi −1-1, biri +1+1 olmalıdır. Yani sayılardan ikisi negatif, biri pozitiftir.
İşaret analizi yapmak için.
2
İkinci ve üçüncü eşitsizlikleri kullanarak işaretleri belirle.
x⋅y<0x \cdot y < 0 olduğu için xx ve yy zıt işaretlidir (biri negatif, biri pozitif). Toplamda iki negatif sayı olması gerektiğinden, geriye kalan zz sayısı kesinlikle negatif olmalıdır (z<0z < 0).
Değişkenlerin işaretlerini kesinleştirmek için.
3
yy ve xx işaretlerini netleştir.
y−z<0y - z < 0 ifadesinden y<zy < z elde edilir. zz negatif olduğuna göre, zz'den küçük olan yy de kesinlikle negatiftir. yy negatif ise, zıt işaretli olan xx pozitiftir.
Sıralamayı ve tüm işaretleri bulmak için.
4
Elde edilen bulguları özetle.
İşaretler: x(+),y(−),z(−)x(+), y(-), z(-). Sıralama: y<z<0<xy < z < 0 < x.
Seçenekleri test etmek için referans oluşturmak.
5
Doğru seçeneği test et.
x−yz\frac{x - y}{z} ifadesinde; Pay (x−yx - y) = (Pozitif) - (Negatif) = Pozitif. Payda (zz) = Negatif. Sonuç: (+)/(−)=(−)(+) / (-) = (-). İfade <0< 0 dediği için bu seçenek daima doğrudur.
Kesin doğruluğu kanıtlamak için.

Key Concept

İşaret Fonksiyonu ve Eşitsizlik Sistemleri

Hints

1
∣a∣a\frac{|a|}{a} ifadesi sadece 11 veya −1-1 değerini alabilir. Toplamın −1-1 olması, kaç tanesinin negatif olması gerektiğini gösterir?
Estimated Time:2m 30s
Question 4Question →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x−z>∣x+z∣ x - z > |x + z|
x+y<0 x + y < 0
y>z y > z

Buna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi kesinlikle doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2

Answer

Sayıların karelerinin sıralaması x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 şeklindedir.
Verilen x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliği, xx'in pozitif ve zz'nin negatif olduğunu garanti eder. İkinci bilgi (x+y<0x+y<0), pozitif xx'e rağmen toplamın negatif olması nedeniyle yy'nin negatif olduğunu ve sıfıra olan uzaklığının xx'ten fazla olduğunu gösterir (∣y∣>∣x∣|y|>|x|). Üçüncü bilgi (y>zy>z), her ikisi de negatif olan bu sayılardan zz'nin daha solda (daha küçük) olduğunu, dolayısıyla sıfıra en uzak olanın zz olduğunu kanıtlar (∣z∣>∣y∣|z|>|y|). Sıfıra uzaklık (mutlak değer) arttıkça kare de büyüdüğünden, doğru sıralama x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 olur.

Step-by-Step Solution

1
x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliğini analiz et.
x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğu tespit edilir.
Bir sayının (x−zx-z) mutlak değerden büyük olması için pozitif olması gerekir. Ayrıca işaret analizi yapıldığında bu eşitsizlik sadece xx pozitif ve zz negatifken sağlanır.
2
x+y<0x + y < 0 eşitsizliğini ve xx'in işaretini kullanarak yy'yi yorumla.
y<−xy < -x olduğu için yy negatiftir ve mutlak değeri xx'ten büyüktür (∣y∣>x|y| > x).
Pozitif bir sayı (xx) ile toplandığında sonuç negatif oluyorsa, diğer sayı (yy) mutlak değerce daha büyük bir negatif sayı olmalıdır.
3
y>zy > z eşitsizliğini sayı doğrusu ve mutlak değer açısından değerlendir.
zz, yy'den daha küçüktür (daha soldadır), bu nedenle ∣z∣>∣y∣|z| > |y| olur.
Negatif sayılarda küçüldükçe sıfırdan uzaklaşılır, yani mutlak değer büyür.
4
Elde edilen mutlak değer ilişkilerini kare alma işlemiyle sırala.
∣z∣>∣y∣>∣x∣|z| > |y| > |x| olduğundan z2>y2>x2z^2 > y^2 > x^2 elde edilir.
Mutlak değeri büyük olan sayının karesi de büyüktür.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Hints

1
İlk eşitsizlikte xx ve zz'nin işaretlerini belirlemeye çalışın. Farkları (x−zx-z), toplamlarının mutlak değerinden büyükse, bu sayılar zıt işaretli olabilir mi?
2
x−z>∣x+z∣x - z > |x + z| eşitsizliği ancak x>0x > 0 ve z<0z < 0 olduğunda sağlanır. Bunu doğruladıktan sonra diğer eşitsizlikleri kullanarak sayıların mutlak değerlerini (sıfıra uzaklıklarını) kıyaslayın.

Practice More

Benzer mantıkla a⋅b<0a \cdot b < 0 ve ∣a∣<∣b∣|a| < |b| verip a+ba+b toplamının işaretini soran sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı vererek deneme (Değer verme) yöntemi: x=2x=2 seçelim. x+y<0x+y<0 olması için y=−3y=-3 olsun (∣y∣>x|y|>x sağlanır). y>zy>z olması için z=−5z=-5 olsun. Şartları kontrol edelim: 2−(−5)>∣2−5∣⇒7>32 - (-5) > |2-5| \Rightarrow 7 > 3 (Doğru). Bu değerlerin kareleri: x2=4,y2=9,z2=25x^2=4, y^2=9, z^2=25. Sıralama x2<y2<z2x^2 < y^2 < z^2 olur.
Estimated Time:2m 30s
Question 5Question →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x2⋅z<0x^2 \cdot z < 0
x⋅y>0x \cdot y > 0
x+z>0x + z > 0

ifadeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x2>z2x^2 > z^2

Answer

x2>z2x^2 > z^2 ifadesi daima doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden zz'nin negatif, xx ve yy'nin pozitif olduğu anlaşılmaktadır. Ayrıca x+z>0x + z > 0 ifadesi, xx'in mutlak değerinin zz'nin mutlak değerinden büyük olduğunu (∣x∣>∣z∣|x| > |z|) kanıtlar. Bu durumda her iki tarafın karesi alındığında x2>z2x^2 > z^2 eşitsizliği daima doğru olur.

Step-by-Step Solution

1
x2⋅z<0x^2 \cdot z < 0 eşitsizliğini inceleme
x2x^2 daima pozitif olduğundan, çarpımın negatif olması için z<0z < 0 olmalıdır.
Çift kuvvetler (sıfır hariç) daima pozitiftir.
2
x+z>0x + z > 0 eşitsizliğini kullanarak xx ve zz arasındaki ilişkiyi belirleme
x>−zx > -z sonucuna ulaşılır. zz negatif bir sayı olduğundan, −z-z pozitiftir. Bu durumda xx kesinlikle pozitiftir (x>0x > 0) ve mutlak değerce zz'den büyüktür (∣x∣>∣z∣|x| > |z|).
Bir sayının negatifiyle toplamının pozitif olması için, pozitif olan sayının mutlak değerce daha büyük olması gerekir.
3
x⋅y>0x \cdot y > 0 eşitsizliğini inceleme
x>0x > 0 olduğu bilindiğine göre, çarpımın pozitif olması için yy de pozitif (y>0y > 0) olmalıdır.
Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir.
4
Seçenekleri değerlendirme
∣x∣>∣z∣|x| > |z| olduğu için her iki tarafın karesi alındığında x2>z2x^2 > z^2 eşitsizliği elde edilir.
Doğru seçeneği tespit etmek için bulguları şıklarda test etme.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemlerinde İşaret ve Mutlak Değer Analizi

Hints

1
Önce x2⋅z<0x^2 \cdot z < 0 ifadesinden başlayarak zz'nin işaretini belirleyiniz. Çift kuvvetlerin işaret üzerindeki etkisini hatırlayınız.
2
x+z>0x + z > 0 ifadesini x>−zx > -z olarak düşününüz. zz negatif ise, −z-z pozitiftir. Bu durum xx ve zz'nin mutlak değerleri hakkında ne söyler?
3
xx'in mutlak değerce zz'den büyük olduğunu bulduktan sonra (∣x∣>∣z∣|x| > |z|), karelerini alarak seçenekleri kontrol ediniz.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış mutlak değerli eşitsizlik sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Şartları sağlayan değerler seçiniz. Örneğin z=−2z = -2 olsun. x2x^2 pozitif olmalı, x+z>0x+z > 0 için x>2x > 2 olmalı (mesela x=3x=3). x⋅y>0x \cdot y > 0 için yy de pozitif olmalı (mesela y=5y=5). Bu değerleri (x=3,y=5,z=−2x=3, y=5, z=-2) şıklarda yerine koyarak hangisinin sağlandığını görebilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 6Question →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı aa ve bb sayıları için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanmaktadır:

a3<a2<∣a∣ a^3 < a^2 < |a|
a⋅b<0 a \cdot b < 0
a−b>0 a - b > 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: b<a⋅bb < a \cdot b

Answer

b<a⋅bb < a \cdot b ifadesi daima doğrudur.
Verilen koşullardan 0<a<10 < a < 1 ve b<0b < 0 olduğu tespit edilir. b<a⋅bb < a \cdot b eşitsizliği düzenlendiğinde b(1−a)<0b(1 - a) < 0 elde edilir. bb negatif, (1−a)(1-a) pozitif olduğu için çarpımları daima negatiftir.

Step-by-Step Solution

1
a3<a2<∣a∣a^3 < a^2 < |a| eşitsizliğini analiz et.
aa'nın aralığı (−1,0)∪(0,1)(-1, 0) \cup (0, 1) olarak bulunur.
Bir sayının karesi kendisinden mutlak değerce küçükse sayı (−1,1)(-1, 1) aralığındadır. Küpünün karesinden küçük olması ise negatif sayıları veya (0,1)(0, 1) aralığını işaret eder.
2
a⋅b<0a \cdot b < 0 ve a−b>0a - b > 0 koşullarını kullanarak işaretleri belirle.
aa pozitif (0<a<10 < a < 1), bb negatiftir.
aa ve bb zıt işaretlidir. a>ba > b olduğuna göre pozitif olan aa, negatif olan bb olmalıdır. (Eğer aa negatif olsaydı bb pozitif olurdu ve a>ba > b sağlanamazdı).
3
Doğru seçeneği (b<a⋅bb < a \cdot b) incele.
b(1−a)<0b(1 - a) < 0 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizliği düzenlediğimizde b−ab<0⇒b(1−a)<0b - ab < 0 \Rightarrow b(1 - a) < 0 olur.
4
Sonucun doğruluğunu teyit et.
İfade daima doğrudur.
bb negatiftir (-). 0<a<10 < a < 1 olduğundan (1−a)(1 - a) pozitiftir (+). (-) ile (+) çarpımı negatiftir (< 0). Bu daima sağlanır.

Key Concept

Basit Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi

Hints

1
Önce a3<a2<∣a∣a^3 < a^2 < |a| eşitsizliğini sağlayan aa sayılarını sayı doğrusu üzerinde düşünün. Hangi aralıktaki sayıların karesi kendisinden küçük olur?
2
aa ve bb'nin işaretlerini belirlemek için a⋅b<0a \cdot b < 0 (zıt işaretli) ve a>ba > b (büyük olan pozitif olmalı) bilgilerini birleştirin.
3
0<a<10 < a < 1 ve b<0b < 0 bulduktan sonra, seçeneklerdeki eşitsizlikleri bir tarafa toplayarak (örneğin b−ab<0b - ab < 0) işaret incelemesi yapın.

Practice More

Benzer mantıkla x2<xx^2 < x ve y3<yy^3 < y koşullarını sağlayan sayıların çarpımının işaretini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: a=0.5a = 0.5 ve b=−2b = -2 değerlerini seçerek şıkları test edebilirsiniz. Ancak 'daima' dendiği için sınır durumları da düşünmelisiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 7Question →

xx, yy ve zz sıfırdan farklı gerçel sayıları için,

x+y<0 x + y < 0
x⋅z>0 x \cdot z > 0
y−z>0 y - z > 0
∣x∣<∣y∣ |x| < |y|

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu her zaman pozitiftir?
Show answer & explanation

Answer: x−yx - y

Answer

x - y ifadesi her zaman pozitiftir.
Verilen eşitsizliklerden y'nin negatif olduğu, y'nin z'den büyük olduğu ve x'in de negatif olduğu anlaşılmaktadır. Sayılar arasındaki büyüklük ilişkisi z < y < x < 0 şeklindedir. x sayısı y'den daha büyük (sıfıra daha yakın) bir negatif sayı olduğu için, x - y çıkarma işlemi pozitif bir fark yaratır.

Step-by-Step Solution

1
y'nin işaretini belirleme
y<0y < 0
∣x∣<∣y∣|x| < |y| ve x+y<0x + y < 0 ise, mutlak değerce büyük olan yy sayısının işareti toplamın sonucunu belirler. Dolayısıyla yy negatiftir.
2
z'nin işaretini ve y ile ilişkisini bulma
z<y<0z < y < 0
y−z>0⇒y>zy - z > 0 \Rightarrow y > z olur. yy negatif olduğuna göre, ondan daha küçük olan zz de kesinlikle negatiftir.
3
x'in işaretini belirleme
x<0x < 0
x⋅z>0x \cdot z > 0 olduğu verilmiştir. zz negatif olduğuna göre çarpımın pozitif olması için xx de negatif olmalıdır.
4
Sayıları sıralama ve mutlak değer ilişkisini kontrol etme
z<y<x<0z < y < x < 0
y>zy > z ve ∣x∣<∣y∣|x| < |y| (negatif sayılarda mutlak değerce küçük olan daha büyüktür) bilgilerinden hareketle tüm sayılar negatiftir ve sıralama z<y<x<0z < y < x < 0 şeklindedir.
5
Seçenekleri değerlendirme
x−y>0x - y > 0
x>yx > y olduğu için büyük sayıdan küçük sayı çıkarıldığında sonuç pozitif olur.

Key Concept

Negatif sayılarda toplama, çıkarma ve mutlak değer yorumu

Hints

1
Önce mutlak değer ve toplam bilgisini kullanarak y'nin işaretini bulun.
2
Tüm sayıların negatif olduğunu keşfettikten sonra z < y < x < 0 sıralamasını oluşturun.
3
Şıkları kontrol ederken x = -1, y = -3, z = -5 gibi basit değerler vererek sonuçları test edebilirsiniz.

Practice More

Benzer sorularda çift kuvvet içeren ifadelerin (örneğin x^2) her zaman pozitif olduğunu varsayarak diğer değişkenlerin işaretlerini daha hızlı analiz edebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde yerleşim yaparak düşünmek: y sayısı z'nin sağında, x sayısı ise y'nin sağındadır. Tüm bu sayılar 0'ın solundadır. x, y'nin sağında olduğu için x - y mesafesi pozitif bir değerdir.
Estimated Time:1m 30s
Question 8Question →
−(−12)+(−4)⋅(+2)-(-12) + (-4) \cdot (+2)

Yukarıda verilen işlemin sonucu kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

İşlemin sonucu 4'tür.
Verilen işlemde öncelikle −(−12)-(-12) ifadesi +12+12 olarak dışarı çıkar. Ardından işlem önceliğine dikkat edilerek (−4)⋅(+2)(-4) \cdot (+2) çarpımı yapılır ve −8-8 sonucu bulunur. Son aşamada 1212 ile −8-8 toplandığında sonuç 44 olur.

Step-by-Step Solution

1
Parantez önündeki eksi işaretini dağıtın.
−(−12)=+12-(-12) = +12
Bir parantezin önündeki eksi (-) işareti, içerideki sayının işaretini tersine çevirir. İki negatif işaretin yan yana gelmesi sonucu pozitif yapar.
2
Çarpma işlemini gerçekleştirin.
(−4)⋅(+2)=−8(-4) \cdot (+2) = -8
Matematikte işlem önceliği gereği çarpma işlemi toplama işleminden önce yapılır. Zıt işaretli iki sayının çarpımı negatiftir.
3
Elde edilen sonuçları toplayın.
12+(−8)=412 + (-8) = 4
Büyük olan sayının işaretini alarak çıkarma işlemi yapılır (12−8=412 - 8 = 4).

Key Concept

Tam sayılarda dört işlem yaparken işlem önceliği ve işaret çarpım kuralları (eksi ile eksinin çarpımı artı, artı ile eksinin çarpımı eksi) hayati önem taşır.

Hints

1
İşlemde hem toplama/çıkarma hem de çarpma var. Hangisini önce yapman gerektiğini hatırla.
2
Zıt işaretli iki sayıyı çarptığında sonucun işareti ne olur? Peki ya iki negatif işaret yan yana gelirse?
3
İşlemi iki parçaya ayır: İlk parça −(−12)-(-12), ikinci parça (−4)⋅(+2)(-4) \cdot (+2). Bu iki parçanın sonuçlarını bulup birleştir.

Practice More

İşaret kurallarını iyice pekiştirmek için benzer şekilde içinde parantez ve çarpma olan 3-4 farklı işlem daha çözebilirsiniz.

Alternative Method

İşlemi bir borç-alacak hesabı gibi düşünebilirsiniz: −(−12)-(-12) size 12 TL para gelmesi demektir. (−4)⋅2(-4) \cdot 2 ise her biri 4 TL olan 2 adet borç demektir. 12 TL paranız varken 8 TL borç öderseniz elinizde 4 TL kalır.
Estimated Time:45s
Question 9Question →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,

x⋅y<0 x \cdot y < 0
x<y x < y
x+z=0 x + z = 0
y−zx>0 \frac{y - z}{x} > 0

eşitsizlikleri veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
Show answer & explanation

Answer: x+y<0x + y < 0

Answer

x+y<0x + y < 0 eşitsizliği daima doğrudur.
Verilen x+z=0x + z = 0 eşitliğinden xx ve zz'nin mutlak değerce eşit ve zıt işaretli olduğu (x=−zx = -z) anlaşılır. x<yx < y ve x⋅y<0x \cdot y < 0 şartlarından xx'in negatif, yy'nin pozitif olduğu belirlenir. y−zx>0\frac{y - z}{x} > 0 eşitsizliğinde payda (xx) negatif olduğundan pay (y−zy - z) da negatif olmalıdır, bu da y<zy < z sonucunu verir. Sonuç olarak z>yz > y ve x=−zx = -z olduğundan, x+y=−z+yx + y = -z + y ifadesi negatif bir sonuç verir.

Step-by-Step Solution

1
x⋅y<0x \cdot y < 0 ve x<yx < y eşitsizliklerini incele.
xx ve yy zıt işaretlidir. x<yx < y olduğu için xx negatif (x<0x < 0), yy pozitif (y>0y > 0) olmalıdır.
Zıt işaretli iki sayıdan küçük olan negatiftir.
2
x+z=0x + z = 0 eşitliğini kullanarak zz'nin işaretini ve büyüklüğünü belirle.
z=−xz = -x olur. xx negatif olduğu için zz pozitif (z>0z > 0) bir sayıdır. Ayrıca ∣x∣=z|x| = z eşitliği vardır.
Toplamları sıfır olan sayılar zıt işaretlidir ve mutlak değerce eşittir.
3
y−zx>0\frac{y - z}{x} > 0 eşitsizliğini çöz.
Kesrin paydası (xx) negatiftir. Sonucun pozitif olması için payın (y−zy - z) da negatif olması gerekir. Yani y−z<0  ⟹  y<zy - z < 0 \implies y < z.
Bölümün pozitif olması için pay ve payda aynı işaretli olmalıdır.
4
Bulunan tüm ilişkileri birleştir (x<0x < 0, 0<y<z0 < y < z, ∣x∣=z|x| = z).
Sıralama x<0<y<zx < 0 < y < z şeklindedir ve xx'in mutlak değeri (zz), yy'den büyüktür.
Değişkenler arasındaki büyüklük ilişkisini kesinleştirmek.
5
Seçenekleri bu bilgilere göre değerlendir.
x+yx + y ifadesinde x=−zx = -z yazılırsa −z+y-z + y elde edilir. y<zy < z olduğu için bu toplam negatiftir (x+y<0x + y < 0).
Doğru seçeneği belirlemek.

Key Concept

Eşitsizlik Sistemleri ve İşaret İncelemesi

Hints

1
x⋅y<0x \cdot y < 0 ve x<yx < y bilgilerini kullanarak xx ve yy'nin işaretlerini belirleyerek başla.
2
x+z=0x + z = 0 eşitliği, xx ve zz'nin büyüklükleri hakkında ne söyler? Bu bilgiyi xx'in işaretiyle birleştir.
3
Kesirli eşitsizlikte paydanın (xx) işareti negatiftir. Sonucun pozitif olması için payın (y−zy-z) işareti ne olmalıdır?

Practice More

Mutlak değer içeren eşitsizlik sistemlerinde sıralama soruları çöz.
Estimated Time:2m 30s
Question 10Question →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* xx ile yy sayılarının toplamı sıfırdır.
* xx ile zz sayılarının çarpımı negatiftir.
* yy sayısı zz sayısından büyüktür.
* yy sayısının mutlak değeri, zz sayısının mutlak değerinden küçüktür.

Buna göre, bu sayıların küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: z<y<xz < y < x

Answer

Sayıların doğru sıralaması z<y<xz < y < x şeklindedir.
Verilen bilgiler ışığında; y ve z sayılarının her ikisinin de negatif olduğu, z'nin mutlak değerce daha büyük olduğu (yani daha küçük olduğu), x'in ise bu sayılarla zıt işaretli olduğu için pozitif olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle en küçük z, sonra y, en büyük ise x sayısıdır.

Step-by-Step Solution

1
x+y=0x + y = 0 bilgisini analiz et.
y=−xy = -x sonucuna ulaşılır. Bu, xx ve yy'nin mutlak değerce eşit ancak zıt işaretli olduğunu gösterir.
Zıt işaretli sayıların tespiti için ilk adımdır.
2
x⋅z<0x \cdot z < 0 bilgisini ve işaret durumlarını incele.
xx ile zz zıt işaretlidir. 1. adımdan xx ile yy de zıt işaretliydi. O halde yy ile zz AYNI işaretlidir.
Üç sayının işaret gruplarını belirlemek için gereklidir.
3
y>zy > z ve ∣y∣<∣z∣|y| < |z| eşitsizliklerini birlikte değerlendirerek sayıların işaretini kesinleştir.
Eğer yy ve zz pozitif olsaydı, ∣y∣<∣z∣|y| < |z| durumu y<zy < z sonucunu verirdi, ancak y>zy > z verilmiş. Çelişki var. Demek ki yy ve zz NEGATİF sayılardır. Bu durumda ∣y∣<∣z∣|y| < |z| iken y>zy > z (sıfıra daha yakın olan büyüktür) kuralı sağlanır.
Sayıların pozitif mi negatif mi olduğunu kesin olarak belirleyen kritik mantık adımıdır.
4
Tüm işaretleri ve büyüklükleri birleştirerek sıralama yap.
yy ve zz negatiftir. y>zy > z olduğu için zz en küçüktür (z<yz < y). xx ve yy zıt işaretli olduğundan ve yy negatif olduğundan, xx pozitiftir. Pozitif sayı negatiflerden büyüktür.
Sonuç sıralamasını oluşturmak için.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama yapılırken mutlak değer büyüdükçe sayının değeri küçülür (Sıfırdan uzaklaşır).

Hints

1
Toplamları sıfır olan iki sayı (xx ve yy) zıt işaretlidir (biri pozitif, diğeri negatiftir).
2
yy ile zz'nin işaretini bulmak için şu mantığı kullanın: Eğer ikisi de pozitif olsaydı, mutlak değeri küçük olan (yy) diğerinden (zz) daha küçük olurdu (y<zy < z). Ancak soruda y>zy > z verilmiş.
3
Çelişkiyi gidermek için yy ve zz'nin negatif olması gerekir. Negatif sayılarda 'sıfıra yakın olan büyüktür' kuralını hatırlayın.
Estimated Time:2m 30s
Question 11Question →
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için,
∣a∣a+∣b∣b=0 \frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0
a−b<0 a - b < 0
a2<b2 a^2 < b^2
eşitsizlikleri ve eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a+ba<0 \frac{a + b}{a} < 0

Answer

Daima doğru olan ifade: a+ba<0\frac{a + b}{a} < 0
Verilen şartlar altında aa negatif, bb pozitiftir ve bb'nin mutlak değeri aa'dan büyüktür (∣b∣>∣a∣|b| > |a|). Bu durumda a+ba+b toplamı pozitif olur. aa sayısı negatif olduğundan, pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü (a+ba\frac{a+b}{a}) daima negatif çıkar.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitliği analiz et: ∣a∣a+∣b∣b=0\frac{|a|}{a} + \frac{|b|}{b} = 0
Bu toplamın 0 olması için terimlerden biri 1, diğeri -1 olmalıdır. Bu, aa ve bb sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.
Bir sayının mutlak değerine bölümü, sayı pozitifse 1, negatifse -1'dir.
2
İkinci eşitsizliği analiz et: a−b<0⇒a<ba - b < 0 \Rightarrow a < b
Zıt işaretli iki sayıdan küçük olanı negatif, büyük olanı pozitif olmak zorundadır. Yani a<0a < 0 ve b>0b > 0.
Eğer aa pozitif olsaydı, bb negatif olurdu ve a>ba > b çıkardı ki bu eşitsizlikle çelişirdi.
3
Üçüncü eşitsizliği analiz et: a2<b2a^2 < b^2
Her iki tarafın karekökü alınırsa ∣a∣<∣b∣|a| < |b| elde edilir. Yani pozitif olan bb sayısı, negatif olan aa sayısından mutlak değerce daha büyüktür (Sıfıra daha uzaktır).
Kare alma işlemi işaretleri yok eder ve büyüklük kıyaslaması sağlar.
4
Doğru seçeneği test et: a+ba\frac{a + b}{a}
Pay (a+ba+b): ∣b∣>∣a∣|b| > |a| ve bb pozitif olduğu için toplam pozitiftir (++). Payda (aa): Negatiftir (−-). Sonuç: (+)/(−)=(−)(+) / (-) = (-). Bu ifade daima sıfırdan küçüktür.
İşaret incelemesi sonucu kesinlik kazanır.

Key Concept

Zıt işaretli sayılarda mutlak değerce büyük olanın işareti, toplamın işaretini belirler.

Hints

1
∣x∣x\frac{|x|}{x} ifadesi, xx pozitifse 1, negatifse -1 değerini alır. Toplamın 0 olması için sayılardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.
2
aa ve bb zıt işaretli ise, a−b<0a - b < 0 (yani a<ba < b) eşitsizliği hangisinin negatif, hangisinin pozitif olduğunu kesinleştirir.
3
a2<b2a^2 < b^2 eşitsizliği ∣a∣<∣b∣|a| < |b| anlamına gelir. Yani pozitif olan sayı (b), negatif olanın (a) büyüklüğünden fazladır. Buna göre a+ba+b toplamının işaretini bulun.
Estimated Time:2m 30s
Question 12Question →

Pozitif ve negatif tam sayılarla dört işlem konusunu çalışan bir öğrenci, defterine aşağıdaki işlemi yazmıştır:

(−24)÷(−6)+(−3)⋅(+5)(-24) \div (-6) + (-3) \cdot (+5)

Buna göre, bu işlemin doğru sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: -11

Answer

İşlemin doğru sonucu -11 olarak bulunur.
Verilen işlemde öncelikle bölme ve çarpma işlemleri yapılır. (−24)÷(−6)=+4(-24) \div (-6) = +4 ve (−3)⋅(+5)=−15(-3) \cdot (+5) = -15 sonuçları elde edilir. Bu iki sonucun toplamı olan 4+(−15)4 + (-15) işlemi ise −11-11 sonucunu verir. Bu nedenle doğru cevap -11 değeridir.

Step-by-Step Solution

1
(−24)÷(−6)(-24) \div (-6) bölme işlemini yapınız.
+4+4
Aynı işaretli iki sayının birbirine bölümü daima pozitiftir. 24÷6=424 \div 6 = 4 olduğundan sonuç +4+4 olur.
2
(−3)⋅(+5)(-3) \cdot (+5) çarpma işlemini yapınız.
−15-15
Zıt işaretli iki sayının çarpımı daima negatiftir. 3×5=153 \times 5 = 15 olduğundan sonuç −15-15 olur.
3
Bulunan sonuçları toplayınız: (+4)+(−15)(+4) + (-15)
−11-11
Farklı işaretli iki sayı toplanırken, mutlak değerce büyük olan sayıdan (15) küçük olan sayı (4) çıkarılır ve mutlak değerce büyük olanın işareti verilir.

Key Concept

Tam sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde işaret kuralları ile işlem önceliği.

Hints

1
İşlem önceliğine dikkat ederek önce bölme ve çarpma işlemlerini yapmalısın.
2
Aynı işaretli sayıların bölümünün pozitif (+), farklı işaretli sayıların çarpımının ise negatif (-) olduğunu hatırla.
3
İşlem şu hale gelecektir: (+4)+(−15)(+4) + (-15). Şimdi bu iki tam sayıyı toplayarak sonuca ulaşabilirsin.

Practice More

İşaret kurallarını pekiştirmek için benzer bir soruyu bölme yerine çıkarma işlemi içeren bir ifadeyle çözmeyi deneyebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Question 13Question →
Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x3⋅y4<0x^3 \cdot y^4 < 0
x−z>0x - z > 0
y+z=0y + z = 0
ifadeleri veriliyor.

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: z<x<yz < x < y

Answer

Doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.
Verilen ifadeler adım adım analiz edildiğinde; birinci ifadeden xx'in negatif olduğu, üçüncü ifadeden yy ve zz'nin zıt işaretli olduğu, ikinci ifadeden ise xx'in zz'den büyük olduğu anlaşılır. xx negatif ve x>zx > z olduğu için zz de negatiftir. zz negatif ise yy pozitiftir. Negatif sayılar arasında z<xz < x ilişkisi vardır ve pozitif olan yy hepsinden büyüktür. Sonuç olarak sıralama z<x<yz < x < y olur.

Step-by-Step Solution

1
xx sayısının işaretini belirle.
x<0x < 0 (Negatif)
y4y^4 çift kuvvet olduğu için kesinlikle pozitiftir. Çarpımın (x3⋅y4x^3 \cdot y^4) negatif olabilmesi için x3x^3 negatif olmalıdır, bu da xx'in negatif olduğunu gösterir.
2
xx ve zz arasındaki ilişkiyi incele.
z<x<0z < x < 0
x−z>0x - z > 0 eşitsizliği x>zx > z anlamına gelir. xx negatif olduğuna göre, xx'ten daha küçük olan zz sayısı da kesinlikle negatif olmalıdır.
3
yy sayısının işaretini ve konumunu belirle.
y>0y > 0 (Pozitif)
y+z=0y + z = 0 eşitliğinden y=−zy = -z bulunur. zz negatif bir sayı olduğuna göre, ters işaretlisi olan yy pozitif olmalıdır.
4
Tüm sayıları sırala.
z<x<yz < x < y
zz ve xx negatif sayılardır ve z<xz < x ilişkisi vardır. yy pozitif olduğu için en büyüktür. Birleştirildiğinde z<x<yz < x < y elde edilir.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama yapılırken sayı sıfırdan uzaklaştıkça küçülür. Tek kuvvetler işareti korurken, çift kuvvetler sonucu daima pozitif yapar.

Hints

1
Önce x3⋅y4<0x^3 \cdot y^4 < 0 eşitsizliğini kullanarak xx'in işaretini belirleyiniz. Çift kuvvetlerin (y4y^4) sonucu daima pozitiftir.
2
xx'in negatif olduğunu bulduktan sonra, x−z>0x - z > 0 eşitsizliğinden x>zx > z olduğunu hatırlayınız. Negatif bir sayıdan daha küçük olan bir sayı da negatiftir.
3
zz negatif ise, y+z=0y + z = 0 eşitliğinden yy'nin pozitif olduğunu görebilirsiniz. Pozitif sayılar negatiflerden daima büyüktür.

Practice More

Mutlak değerli eşitsizliklerde sıralama sorularını inceleyiniz.

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek değerler seçin. Örneğin x=−2x=-2 olsun. x3x^3 negatiftir, uygundur. x>zx > z olmalı, z=−5z=-5 seçelim (−2>−5-2 > -5 sağlar). y+z=0y+z=0 ise y=5y=5 olur. Elde edilen değerler: z=−5,x=−2,y=5z=-5, x=-2, y=5. Sıralama: −5<−2<5-5 < -2 < 5 yani z<x<yz < x < y.
Estimated Time:2m 0s
Question 14Question →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

xy<0 \frac{x}{y} < 0
x−y>0 x - y > 0
x<z x < z
y+z<0 y + z < 0

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x+y<0x + y < 0

Answer

x+y<0x + y < 0 ifadesi daima doğrudur.
Verilen öncüllerden xx ve zz'nin pozitif, yy'nin negatif olduğu anlaşılır. y+z<0y+z<0 bilgisi, negatif olan yy'nin mutlak değerce zz'den (ve dolayısıyla zz'den küçük olan xx'ten) daha büyük olduğunu kanıtlar. Bu yüzden x+yx+y toplamı kesinlikle negatif olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
xx ve yy sayılarının işaretlerini belirle.
xy<0\frac{x}{y} < 0 olduğu için xx ve yy zıt işaretlidir. x−y>0x - y > 0 ise x>yx > y demektir. Bu durumda pozitif olan büyük sayı xx, negatif olan küçük sayı yy'dir (x>0,y<0x > 0, y < 0).
Zıt işaretli iki sayıdan büyük olanı pozitif olmak zorundadır.
2
zz sayısının işaretini ve xx ile ilişkisini belirle.
x<zx < z verilmiştir. xx pozitif olduğu için, xx'ten büyük olan zz sayısı da kesinlikle pozitiftir (z>x>0z > x > 0).
Pozitif bir sayıdan daha büyük olan sayı da pozitiftir.
3
yy ve zz arasındaki mutlak değer ilişkisini incele.
y+z<0y + z < 0 verilmiştir. yy negatif, zz pozitiftir. Toplamın negatif olması için negatif sayının mutlak değerinin pozitif sayıdan büyük olması gerekir. Yani ∣y∣>∣z∣|y| > |z|'dir.
Zıt işaretli sayıların toplamı, mutlak değerce büyük olan sayının işaretini alır.
4
xx ve yy toplamının işaretini belirle.
Sıralamamız ∣y∣>∣z∣|y| > |z| ve z>xz > x şeklindedir. Bu durumda ∣y∣>x|y| > x olur. yy negatif ve xx pozitif olduğundan, mutlak değerce büyük olanın işareti geçerlidir. Sonuç: x+y<0x + y < 0.
Negatif sayının büyüklüğü (şiddeti), pozitif sayının büyüklüğünden fazlaysa toplam negatif olur.

Key Concept

Eşitsizliklerde işaret incelemesi ve mutlak değerce büyüklük yorumu.

Hints

1
Önce xy<0\frac{x}{y} < 0 ve x−y>0x - y > 0 eşitsizliklerini kullanarak xx ve yy'nin işaretlerini belirleyin.
2
xx pozitif ve yy negatiftir. x<zx < z olduğuna göre zz'nin işareti ne olmalıdır? Sonrasında y+z<0y+z < 0 ifadesini mutlak değer cinsinden düşünün.
3
y+z<0y+z < 0 olması, negatif olan yy'nin mutlak değerinin pozitif olan zz'den büyük olduğu anlamına gelir (∣y∣>z|y| > z). zz de xx'ten büyüktür. Bu durumda yy ile xx'i toplarsanız sonuç ne olur?

Alternative Method

Sayı vererek deneme yöntemi: Eşitsizlikleri sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin z=5z=5 olsun. x<zx < z olduğundan x=2x=2 olsun (pozitif olmak zorunda). x/y<0x/y < 0 için yy negatif olmalı. y+z<0y+z < 0 olması için yy'nin -5'ten küçük olması gerekir, örneğin y=−8y=-8. Bu değerler için şıklar test edilebilir: x+y=2+(−8)=−6<0x+y = 2 + (-8) = -6 < 0.
Estimated Time:1m 30s
Question 15Question →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0
x−z<0x - z < 0

olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: x+yz<0\frac{x+y}{z} < 0

Answer

İşaret incelemesi sonucunda xx ve yy'nin negatif, zz'nin pozitif olduğu bulunur. Bu durumda iki negatif sayının toplamının pozitif bir sayıya bölümü (x+yz\frac{x+y}{z}) kesinlikle negatiftir.
Verilen eşitsizliklerden xx ve yy'nin negatif, zz'nin pozitif olduğu tespit edilir. Doğru seçenekteki x+yz\frac{x+y}{z} ifadesinde, iki negatif sayının toplamı (x+yx+y) yine negatif olur. Payda (zz) ise pozitiftir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü daima sıfırdan küçüktür.

Step-by-Step Solution

1
x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0 eşitsizliğini incele.
x2x^2 her zaman pozitiftir (sıfırdan farklı). Çarpımın negatif olması için yy negatif (−-) olmalıdır.
Bir sayının karesi ile çarpımının işaret analizi.
2
x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0 eşitsizliğinde yy'nin işaretini yerine koy.
yy negatiftir. Sonucun pozitif olması için x⋅zx \cdot z çarpımı negatif olmalıdır.
Üçlü çarpımda işaret kuralı: (−)⋅(−)=(+)(-) \cdot (-) = (+) olması gerekir.
3
x−z<0x - z < 0 ve x⋅z<0x \cdot z < 0 bilgilerini birleştir.
x⋅z<0x \cdot z < 0 olduğu için xx ve zz zıt işaretlidir. x<zx < z olduğu için negatif olan küçük, pozitif olan büyük olmalıdır. Yani xx negatif (−-), zz pozitif (++) olur.
Zıt işaretli iki sayıdan küçük olan negatiftir.
4
Bulunan işaretleri (x:−,y:−,z:+x:-, y:-, z:+) seçeneklerde test et.
x+yz\frac{x+y}{z} ifadesinde pay (x+yx+y) iki negatif sayının toplamı olduğundan negatiftir. Payda (zz) pozitiftir. Negatifin pozitife bölümü negatiftir (<0<0).
Seçeneklerin doğruluk kontrolü.

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

Hints

1
Önce x2⋅y<0x^2 \cdot y < 0 eşitsizliğinden başlayarak yy'nin işaretini belirleyiniz. Bir sayının karesi (0 hariç) daima pozitiftir.
2
yy'nin işaretini bulduktan sonra, x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0 eşitsizliğini kullanarak xx ve zz'nin işaret ilişkisini (aynı mı zıt mı) bulunuz.
3
xx ve zz zıt işaretli ise ve x<zx < z ise, küçük olan negatif, büyük olan pozitif olmak zorundadır. Bulduğunuz işaretleri seçeneklerde yerine koyunuz.

Practice More

Mutlak değer içeren eşitsizlik sorularında işaret incelemesi pratiği yapılması önerilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi: Şartları sağlayan örnek sayılar seçilebilir. Örneğin y=−1y=-1, x=−2x=-2 (negatif olmalı) ve z=3z=3 (pozitif olmalı) seçilerek şıklar test edilebilir. Ancak 'daima' sorularında tek bir örnek yanıltıcı olabilir, genel işaret analizi daha güvenilirdir.
Estimated Time:2m 30s
Question 16Question →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x3⋅y2<0 x^3 \cdot y^2 < 0
x⋅z>0 x \cdot z > 0
x+y>0 x + y > 0
y+z<0 y + z < 0

ifadeleri veriliyor.

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: z<x<yz < x < y

Answer

Doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.
Verilen eşitsizlikler adım adım incelendiğinde; xx ve zz'nin negatif, yy'nin pozitif olduğu anlaşılır. x+y>0x+y > 0 ve y+z<0y+z < 0 eşitsizliklerinin birlikte değerlendirilmesi, negatif sayıların mutlak büyüklüklerini karşılaştırmamızı sağlar. ∣z∣>y>∣x∣|z| > y > |x| ilişkisinden dolayı negatif sayılar arasında z<xz < x sıralaması oluşur. Pozitif yy en büyük olduğu için doğru sıralama z<x<yz < x < y şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
xx ve zz sayılarının işaretlerini belirle
xx negatif, zz negatiftir.
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 eşitsizliğinde y2y^2 daima pozitiftir, bu yüzden x3x^3 (ve dolayısıyla xx) negatif olmalıdır. x⋅z>0x \cdot z > 0 eşitsizliğinde xx negatif olduğu için sonucun pozitif olması adına zz de negatif olmalıdır.
2
yy sayısının işaretini belirle
yy pozitiftir.
x+y>0x + y > 0 eşitsizliğinde xx negatiftir. Toplamın pozitif olabilmesi için yy pozitif olmalı ve mutlak değerce xx'ten büyük olmalıdır (y>∣x∣y > |x|).
3
xx ve zz arasındaki büyüklük ilişkisini kur
z<xz < x şeklindedir.
y+z<0y + z < 0 eşitsizliğinde yy pozitiftir. Toplamın negatif olabilmesi için zz negatif olmalı ve mutlak değerce yy'den büyük olmalıdır (∣z∣>y|z| > y). Önceki adımdan y>∣x∣y > |x| olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla ∣z∣>∣x∣|z| > |x| olur. Her ikisi de negatif olduğundan, mutlak değeri büyük olan daha küçüktür (z<xz < x).
4
Tüm sıralamayı birleştir
z<x<yz < x < y
zz ve xx negatif olup z<xz < x ilişkisi vardır. yy pozitif olduğu için hepsinden büyüktür.

Key Concept

Eşitsizliklerde İşaret ve Mutlak Değer Analizi

Hints

1
Önce çarpma işlemlerini kullanarak sayıların işaretlerini (+ veya -) belirleyin. Çift kuvvetler (y2y^2) daima pozitiftir.
2
x+y>0x+y > 0 olması, yy'nin xx'in mutlak değerinden büyük olduğunu gösterir (y>∣x∣y > |x|).
3
y+z<0y+z < 0 ifadesini kullanarak zz'nin mutlak değerinin yy'den büyük olduğunu fark edin (∣z∣>y|z| > y). Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde deneme yöntemi: x=−2x=-2 vererek koşulları sağlayan yy ve zz değerlerini bulmaya çalışın. Örneğin x=−2x=-2 ise y>2y>2 olmalı (ör: y=3y=3). y=3y=3 ise z<−3z<-3 olmalı (ör: z=−4z=-4). Sıralama: −4<−2<3-4 < -2 < 3.
Estimated Time:2m 30s
Question 17Question →

x,yx, y ve zz sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0
x⋅z>0x \cdot z > 0
x+y=0x + y = 0
∣x∣<∣z∣|x| < |z|

eşitsizlikleri ve eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: y^2 < z^2

Answer

y² < z² ifadesi daima doğrudur.
Verilenlerden xx ve zz'nin negatif, yy'nin pozitif olduğu; ayrıca zz'nin xx'ten daha küçük (daha solda) olduğu anlaşılır. y=∣x∣y = |x| eşitliği ve ∣x∣<∣z∣|x| < |z| eşitsizliği birleştirildiğinde y<∣z∣y < |z| bulunur. Pozitif büyüklüklerin karesi sıralamayı koruduğu için y2<z2y^2 < z^2 ifadesi kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ilk eşitsizlikten işaretleri belirle.
y2y^2 daima pozitiftir. x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 olması için x3x^3 negatif olmalıdır, yani x < 0.
Bir sayının karesi (sıfır hariç) pozitiftir; çarpımın negatif olması için diğer çarpan negatif olmalıdır.
2
İkinci ve üçüncü ifadeleri kullanarak diğer değişkenlerin işaretlerini bul.
x⋅z>0x \cdot z > 0 ve xx negatif ise z < 0 olmalıdır. x+y=0x + y = 0 ise y=−xy = -x olur; xx negatif olduğu için y > 0'dır.
Aynı işaretli sayıların çarpımı pozitiftir; toplamları sıfır olan zıt işaretli sayılardan biri negatifse diğeri pozitiftir.
3
Son eşitsizliği kullanarak büyüklük sıralamasını yap.
∣x∣<∣z∣|x| < |z| ve her ikisi de negatif (z,x<0z, x < 0) olduğundan, zz sayısı xx'ten daha küçüktür (z<xz < x). y=∣x∣y = |x| olduğu için ∣y∣<∣z∣|y| < |z| bağıntısı da geçerlidir.
Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.
4
Doğru seçeneği test et.
y=∣x∣y = |x| ve ∣x∣<∣z∣|x| < |z| olduğundan y<∣z∣y < |z| bulunur. Her iki tarafın karesi alınırsa y² < z² elde edilir.
Pozitif büyüklüklerin karesi alındığında eşitsizlik yön değiştirmez.

Key Concept

Negatif sayılarda sıralama ve mutlak değer ilişkisi

Hints

1
Önce verilen çarpım ve toplamları kullanarak her bir değişkenin (x,y,zx, y, z) işaretini belirleyin.
2
xx ve zz negatif, yy pozitiftir. x+y=0x+y=0 olduğu için yy, xx'in mutlak değerine eşittir.
Estimated Time:2m 30s
Question 18Question →
a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
a3⋅b2<0 a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅b>0 a \cdot b > 0
a+c=0 a + c = 0
eşitsizlikleri ve eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a−cb>0\frac{a - c}{b} > 0

Answer

a−cb>0\frac{a - c}{b} > 0 ifadesi kesinlikle doğrudur.
Verilen koşullardan aa'nın negatif, bb'nin negatif ve cc'nin pozitif olduğu tespit edilir. Doğru seçenekteki a−cb\frac{a-c}{b} ifadesinde; pay kısmı (a−c)(a-c) iki negatif terimin toplamı gibi davranarak negatif olur. Payda (bb) zaten negatiftir. İki negatif sayının bölümü daima pozitiftir (>0>0). Bu nedenle bu seçenek kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci eşitsizliği analiz et: a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0.
Bir gerçel sayının karesi (b2b^2) daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için a3<0a^3 < 0 olmalıdır, bu da a<0a < 0 (negatif) demektir.
İşaret çarpımı kuralı.
2
İkinci eşitsizliği analiz et: a⋅b>0a \cdot b > 0.
aa negatiftir. Sonucun pozitif olması için bb de negatif (b<0b < 0) olmalıdır.
Negatif ile negatifin çarpımı pozitiftir.
3
Üçüncü eşitliği analiz et: a+c=0a + c = 0.
c=−ac = -a olur. aa negatif bir sayı olduğuna göre, önündeki eksi ile birlikte cc pozitif (c>0c > 0) olur.
Eşitlikten işaret tespiti.
4
Bulunan işaretleri seçeneklerdeki ifadede yerine koy.
İstenen seçenek: a−cb\frac{a - c}{b}. Pay: aa (negatif) - cc (pozitif) = Negatif. Payda: bb (negatif). Sonuç: Negatif / Negatif = Pozitif.
Kesinlik analizi.

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri

Hints

1
Önce a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinden başlayın. b2b^2 ifadesinin işareti daima nedir?
2
b2b^2 pozitif olduğuna göre a3a^3 negatif olmalıdır, bu da aa'nın işaretini verir. Ardından a⋅b>0a \cdot b > 0 eşitsizliğini kullanarak bb'yi bulun.

Practice More

Benzer mantıkla x2⋅y>0x^2 \cdot y > 0 ve y−z<0y - z < 0 gibi koşulların verildiği soruları çözün.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde tahmini değerler vererek (örneğin a=−2a=-2) diğer değişkenlerin alabileceği değerleri (c=2c=2 gibi) test edebilirsiniz.
Estimated Time:2m 0s
Question 19Question →

Sıfırdan farklı x,yx, y ve zz gerçel sayıları için aşağıda verilen eşitsizlikler sağlanmaktadır:

x3⋅y2<0 x^3 \cdot y^2 < 0
x⋅z>0 x \cdot z > 0
x−yz<0 \frac{x - y}{z} < 0
yz<1 \frac{y}{z} < 1

Buna göre x,yx, y ve zz sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: z<y<xz < y < x

Answer

z<y<xz < y < x sıralaması doğrudur.
Verilen eşitsizlikler adım adım çözüldüğünde: x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 ifadesinden xx'in negatif olduğu; x⋅z>0x \cdot z > 0 ifadesinden zz'nin de negatif olduğu bulunur. x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0 ifadesinde zz negatif olduğundan pay pozitif olmalı, yani x>yx > y olmalıdır. Son olarak yz<1\frac{y}{z} < 1 ifadesinde zz ile çarpma yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve y>zy > z elde edilir. Tüm bu bilgiler birleştirildiğinde doğru sıralama z<y<xz < y < x olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 eşitsizliğini incele.
y≠0y \neq 0 olduğu için y2>0y^2 > 0 dır. Çarpımın negatif olması için x3<0x^3 < 0 olmalıdır, bu da x<0x < 0 demektir.
Çift kuvvetler daima pozitiftir, tek kuvvetler tabanın işaretini korur.
2
x⋅z>0x \cdot z > 0 eşitsizliğinde xx'in işaretini yerine koy.
xx negatif olduğu için, çarpımın pozitif olması zz'nin de negatif olmasını gerektirir. Yani z<0z < 0.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir.
3
x−yz<0\frac{x - y}{z} < 0 eşitsizliğini çöz.
Payda (zz) negatiftir. Bölümün negatif olması için payın (x−yx - y) pozitif olması gerekir. x−y>0⇒x>yx - y > 0 \Rightarrow x > y.
Bölme işleminde sonucun negatif olması için pay ve payda zıt işaretli olmalıdır.
4
yz<1\frac{y}{z} < 1 eşitsizliğini çöz.
Eşitsizliğin her iki tarafını zz (negatif sayı) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir: y>zy > z.
Eşitsizliklerde negatif bir sayıyla çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizlik yön değiştirir.
5
Bulunan sonuçları birleştirerek sıralamayı yaz.
x>yx > y ve y>zy > z olduğuna göre, sıralama z<y<xz < y < x şeklindedir. (Hepsi negatiftir).
Bulunan iki eşitsizlik birleştirilerek tam sıralama elde edilir.

Key Concept

Negatif sayılarla eşitsizlik işlemleri ve işaret incelemesi

Hints

1
Bir sayının karesi (y2y^2) daima pozitiftir, bu bilgiyi x3⋅y2<0x^3 \cdot y^2 < 0 ifadesinde xx'in işaretini bulmak için kullanın.
2
zz'nin negatif olduğunu bulduktan sonra, eşitsizliklerde payda veya çarpan olarak zz kullanırken eşitsizlik yönüne dikkat edin.
3
yz<1\frac{y}{z} < 1 eşitsizliğinde her iki tarafı zz (negatif sayı) ile çarparsanız y>zy > z elde edersiniz.
Estimated Time:2m 30s
Question 20Question →

a,ba, b ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0
b⋅c>0b \cdot c > 0
a+c=0a + c = 0

Verilen bilgilere göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Show answer & explanation

Answer: a−c>0a - c > 0

Answer

a−c>0a - c > 0 ifadesi kesinlikle doğrudur.
Verilen eşitsizliklerden bb ve cc'nin negatif, aa'nın ise pozitif olduğu tespit edilir (a=−ca = -c ilişkisiyle). a−ca - c işlemi, pozitif bir sayıdan negatif bir sayının çıkarılmasıdır (a−(−k)=a+ka - (-k) = a + k). İki pozitif büyüklüğün toplamı her zaman sıfırdan büyük olacağından, bu seçenek kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
a2⋅b<0a^2 \cdot b < 0 eşitsizliğini inceleyin.
a≠0a \neq 0 olduğu için a2a^2 daima pozitiftir. Çarpımın negatif olması için bb negatif (b<0b < 0) olmalıdır.
Çift kuvvetler daima pozitif sonuç verir (0 hariç).
2
b⋅c>0b \cdot c > 0 eşitsizliğini inceleyin.
bb sayısının negatif olduğunu bulmuştuk. Çarpımın pozitif olması için cc de negatif (c<0c < 0) olmalıdır.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir.
3
a+c=0a + c = 0 eşitliğini kullanarak aa'nın işaretini belirleyin.
a=−ca = -c dir. cc negatif bir sayı olduğu için (örneğin -3), önüne eksi alınca aa pozitif olur (a>0a > 0).
Negatif bir sayının negatifi pozitiftir.
4
Bulunan işaretlere göre seçenekleri değerlendirin: a(+),b(−),c(−)a(+), b(-), c(-).
a−ca - c ifadesinde, pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarılmaktadır: (+)−(−)=(+)+(+)>0(+) - (-) = (+) + (+) > 0. Sonuç kesinlikle pozitiftir.
İşaret incelemesi sonucu kesin yargıya varılır.

Key Concept

İşaret İncelemesi ve Eşitsizlik Özellikleri
Page 1 / 2Next