Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir grup arkadaş, kiraladıkları bir yazlık evin ücretini aralarında eşit olarak paylaşmayı planlamıştır. Gruptan 4 kişi ödeme yapmaktan vazgeçince, kalanların kişi başı ödemesi gereken tutar 10 TL artmıştır. Eğer bu gruba 6 kişi daha dahil olsaydı, kişi başı ödenecek tutar 10 TL azalacaktı. Buna göre, başlangıçta grupta kaç kişi vardır?

  1. A
    20
  2. 24Answer
  3. C
    30
  4. D
    40
  5. E
    50

Answer

Başlangıçtaki kişi sayısı 24'tür.
Toplam tutarın sabit kalmasından yola çıkarak kurulan iki denklemin ortak çözümü başlangıçtaki kişi sayısını 24 olarak verir. İlk durumda 4 kişinin ödemediği payı diğerlerinin üstlenmesi, ikinci durumda ise yeni gelenlerin katkısının diğerlerinin yükünü hafifletmesi mantığıyla kurulan 5n−2p=205n - 2p = 20 ve 3p−5n=303p - 5n = 30 denklemleri doğru sonucu sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenleri tanımla ve denklemleri kur.
Başlangıçtaki kişi sayısı nn, kişi başı ücret pp olsun. Toplam Tutar T=n⋅pT = n \cdot p.
Değişen durumlarda toplam tutarın sabit kalması ilkesi kullanılır.
2
Birinci durum (4 kişi eksik) için denklemi yaz.
(n−4)(p+10)=n⋅p⇒np+10n−4p−40=np⇒10n−4p=40⇒5n−2p=20(n-4)(p+10) = n \cdot p \Rightarrow np + 10n - 4p - 40 = np \Rightarrow 10n - 4p = 40 \Rightarrow 5n - 2p = 20
Kişi sayısı azalınca kişi başı ücret artar, ancak çarpım (toplam tutar) değişmez.
3
İkinci durum (6 kişi fazla) için denklemi yaz.
(n+6)(p−10)=n⋅p⇒np−10n+6p−60=np⇒6p−10n=60⇒3p−5n=30(n+6)(p-10) = n \cdot p \Rightarrow np - 10n + 6p - 60 = np \Rightarrow 6p - 10n = 60 \Rightarrow 3p - 5n = 30
Kişi sayısı artınca kişi başı ücret azalır.
4
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çöz.
1. Denklemden 5n=2p+205n = 2p + 20 elde edilir. Bunu 2. denklemde 5n5n yerine koyalım: 3p−(2p+20)=30⇒p−20=30⇒p=503p - (2p + 20) = 30 \Rightarrow p - 20 = 30 \Rightarrow p = 50.
Yok etme veya yerine koyma metodu ile değişkenlerden biri bulunur.
5
Bulunan pp değerini kullanarak nn'yi hesapla.
5n=2(50)+20⇒5n=120⇒n=245n = 2(50) + 20 \Rightarrow 5n = 120 \Rightarrow n = 24.
Bulunan kişi başı ücret değeri, kişi sayısı denkleminde yerine yazılır.

Key Concept

Ters Orantı Problemleri ve Denklem Sistemleri

Hints

1
Toplam kira bedeli her durumda aynıdır. Kişi sayısı ile kişi başı ücretin çarpımı sabittir.
2
Başlangıçtaki kişi sayısına nn, ücretine pp deyin. (n−4)(p+10)=np(n-4)(p+10) = np ve (n+6)(p−10)=np(n+6)(p-10) = np eşitliklerini kullanın.
3
Birinci denklemden 4p=10(n−4)4p = 10(n-4) ilişkisini, ikinci denklemden 6p=10(n+6)+606p = 10(n+6) + 60 benzeri bir ilişkiyi türeterek pp'leri yok edin.

Alternative Method

Paylaşım Mantığı: 1. Durumda ayrılan 4 kişinin ödemesi gereken toplam tutarı (4p4p), kalan n−4n-4 kişi 10'ar TL paylaşmıştır. Yani 4p=10(n−4)4p = 10(n-4). Buradan 2p=5(n−4)2p = 5(n-4) bulunur. Bu ilişkiyi ikinci durum denkleminde yerine koyarak nn doğrudan bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic