Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlar
x≠1x \neq 1 ve x≠−1x \neq -1 olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için
f(x−1x+1)=4x+4x−1−5f\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{4x+4}{x-1} - 5
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, f(12)f\left(\frac{1}{2}\right) değeri kaçtır?
  1. A
    -1
  2. B
    1
  3. 3Answer
  4. D
    5
  5. E
    13

Answer

İstenen değer 3'tür.
Soruda verilen fonksiyon yapısında, parantez içindeki ifade x−1x+1\frac{x-1}{x+1} ile eşitliğin sağ tarafındaki x+1x−1\frac{x+1}{x-1} ifadesi birbirinin çarpımsal tersidir. İçeriye uu dersek, sağ taraftaki kesirli kısım 1/u1/u olur. Katsayılarla birlikte fonksiyon f(u)=4(1/u)−5f(u) = 4(1/u) - 5 şeklini alır. Bizden f(1/2)f(1/2) istendiği için, uu yerine 1/21/2 yazdığımızda sonuç 4/(1/2)−5=8−5=34/(1/2) - 5 = 8 - 5 = 3 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun içindeki ifade ile eşitliğin karşı tarafındaki ifade arasındaki ilişkiyi analiz et.
İçerideki ifade u=x−1x+1u = \frac{x-1}{x+1} iken, karşı tarafta x+1x−1\frac{x+1}{x-1} çarpanı bulunmaktadır. Bu ifade 1u\frac{1}{u}'ya eşittir.
Fonksiyonun kuralını (f(u)f(u)) genel bir formda yazmak çözümü kolaylaştırır.
2
Eşitliği uu cinsinden yeniden yaz.
RHS (Sağ Taraf): 4(x+1)x−1−5=4⋅(x+1x−1)−5=4⋅1u−5\frac{4(x+1)}{x-1} - 5 = 4 \cdot \left(\frac{x+1}{x-1}\right) - 5 = 4 \cdot \frac{1}{u} - 5. Yani f(u)=4u−5f(u) = \frac{4}{u} - 5.
Karmaşık x ifadeleri yerine sadeleştirilmiş fonksiyon kuralını elde etmek için.
3
İstenen u=1/2u = 1/2 değerini fonksiyonda yerine yaz.
f(1/2)=41/2−5=(4⋅2)−5=8−5=3f(1/2) = \frac{4}{1/2} - 5 = (4 \cdot 2) - 5 = 8 - 5 = 3.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Fonksiyonlarda Değişken Dönüştürme

Hints

1
Fonksiyonun içindeki x−1x+1\frac{x-1}{x+1} ifadesi ile eşitliğin sağındaki 4x+4x−1\frac{4x+4}{x-1} ifadesi arasında bir ilişki kurmaya çalışın.
2
Eşitliğin sağ tarafını 4⋅x+1x−1−54 \cdot \frac{x+1}{x-1} - 5 şeklinde paranteze alırsanız, içerideki ifadenin tersini görebilirsiniz.
3
Eğer x−1x+1=u\frac{x-1}{x+1} = u derseniz, x+1x−1=1u\frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{u} olur. Fonksiyonu f(u)f(u) cinsinden yazıp u=1/2u=1/2 değerini koyun.

Practice More

Bileşke fonksiyon sorularında f(g(x))f(g(x)) yapısını ve f(x)f(x) ile f(1/x)f(1/x) arasındaki ilişkileri inceleyen sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Önce xx değerini bulma yöntemi: Fonksiyonun içinin 1/21/2 olması için x−1x+1=12\frac{x-1}{x+1} = \frac{1}{2} denklemini çözerek x=3x=3 bulursunuz. Sonra eşitliğin sağ tarafında xx yerine 3 yazarak sonucu doğrudan hesaplayabilirsiniz: 4(3)+43−1−5=162−5=3\frac{4(3)+4}{3-1} - 5 = \frac{16}{2} - 5 = 3.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic