Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

Bir düzgün çokgenin ardışık A,B,C,D,E,F,G,...A, B, C, D, E, F, G, ... köşeleri veriliyor. ABAB ve FGFG ışınlarının kesişim noktası KK olup, bu iki ışın birbirine diktir.

Buna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  1. A
    104
  2. B
    135
  3. 170Answer
  4. D
    190
  5. E
    252

Answer

Çokgenin 170 adet köşegeni vardır.
Düzgün çokgende ABAB (1. kenar) ile FGFG (6. kenar) arasındaki yön farkı, aradaki 5 köşedeki (B,C,D,E,FB, C, D, E, F) dış açıların toplamıdır. Işınların kesişim açısı 90∘90^\circ olduğuna göre, toplam sapma 180−90=90∘180-90=90^\circ olmalıdır. 5×dıs¸ ac¸ı=90∘5 \times \text{dış açı} = 90^\circ olduğundan bir dış açı 18∘18^\circ bulunur. 360/18=20360/18 = 20 kenarlı bir çokgendir. Köşegen sayısı formülü 20(20−3)2=170\frac{20(20-3)}{2} = 170 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
ABAB kenarından FGFG kenarına kadar olan dış açı değişimini belirle.
B,C,D,E,FB, C, D, E, F köşelerinde olmak üzere toplam 5 kez dış açı (alpha\\alpha) kadar yön değişimi olmuştur.
Düzgün çokgenin kenar uzantıları arasındaki açı, aradaki dış açıların toplamı ile ilişkilidir.
2
Kesişim açısı ile dış açı arasındaki denklemi kur ve kenar sayısını (nn) bul.
∣180∘−5alpha∣=90∘|180^\circ - 5\\alpha| = 90^\circ denkleminden 5alpha=90∘5\\alpha = 90^\circ, buradan alpha=18∘\\alpha = 18^\circ bulunur. Kenar sayısı n=360/18=20n = 360 / 18 = 20 olur.
Uzantıların oluşturduğu açı, toplam sapma miktarının 180 derece ile farkına eşittir.
3
Toplam köşegen sayısını hesapla.
Köşegen sayısı = fracn(n−3)2=frac20times172=170\\frac{n(n-3)}{2} = \\frac{20 \\times 17}{2} = 170.
n kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı formülü uygulanır.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde ardışık olmayan kenarların uzantıları arasındaki açı, aradaki dış açıların toplamına bağlıdır.

Hints

1
ABAB ışınından FGFG ışınına gelene kadar çokgenin kaç köşesini döndüğünü sayın (B,C,D,E,FB, C, D, E, F).
2
Her köşedeki dönüş miktarı bir dış açı (α\alpha) kadardır. Toplam dönüş miktarı ile kesişim açısı (90∘90^\circ) arasındaki ilişkiyi kurun (5α5\alpha ile 180180 bağıntısı).

Alternative Method

Düzgün çokgenin çevrel çemberi düşünülebilir. ABAB ve FGFG kirişlerini taşıyan doğruların kesişim açısı, gördüğü yayların farkının yarısıdır. Ancak dış açı yöntemi genellikle daha hızlıdır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic