Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

Bir düzgün çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, bir dış açısının ölçüsünün 6060 katına eşittir. Buna göre, bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır?

  1. A
    35
  2. B
    44
  3. 54Answer
  4. D
    65
  5. E
    77

Answer

Bu düzgün çokgenin toplam köşegen sayısı 54'tür.
Soruda verilen oran kullanılarak çokgenin 12 kenarlı bir düzgün çokgen (onikigen) olduğu tespit edilir. n=12n=12 için köşegen sayısı formülü n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} uygulandığında sonuç 54 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Düzgün çokgenin kenar sayısına nn diyelim. İç açılar toplamı ve bir dış açı formüllerini yazalım.
İç Açılar Toplamı = (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^{\circ}, Bir Dış Açı = 360∘n\frac{360^{\circ}}{n}
Sorudaki ilişkiyi matematiksel denkleme dökmek için temel çokgen formülleri gereklidir.
2
Soruda verilen "iç açılar toplamı, dış açının 60 katıdır" ilişkisini denklem olarak kuralım.
(n−2)⋅180=60⋅360n(n-2) \cdot 180 = 60 \cdot \frac{360}{n}
Sözel ifadeyi cebirsel eşitliğe çevirerek nn değerini bulmak amaçlanır.
3
Denklemi sadeleştirerek nn değerini bulalım.
(n−2)⋅180=21600n⇒n(n−2)=21600180⇒n(n−2)=120(n-2) \cdot 180 = \frac{21600}{n} \Rightarrow n(n-2) = \frac{21600}{180} \Rightarrow n(n-2) = 120. Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı n=12n=12'dir.
Çokgenin kenar sayısı (nn) bulunduğunda, köşegen sayısı hesaplanabilir.
4
Bulunan n=12n=12 değeri için toplam köşegen sayısını hesaplayalım.
Köşegen Sayısı = n(n−3)2=12(12−3)2=12⋅92=54\frac{n(n-3)}{2} = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54
Sonuç olarak istenen değer toplam köşegen sayısıdır.

Key Concept

Düzgün çokgenlerde açı bağıntıları ve köşegen sayısı formülü arasındaki cebirsel ilişki.

Hints

1
Düzgün çokgenin kenar sayısına nn diyerek, iç açılar toplamı formülü ile bir dış açı formülünü yazınız.
2
Sorudaki ilişkiyi denklem olarak yazın: (n−2)⋅180=60⋅(360n)(n-2) \cdot 180 = 60 \cdot \left(\frac{360}{n}\right).

Practice More

İç açılar toplamı yerine bir iç açısının ölçüsü ile dış açısının ölçüsü oranı verilen soruları çözün.

Alternative Method

Şıklardan gidilerek her bir şıkkın köşegen sayısı formülüne göre nn değeri bulunup, bu nn değerinin verilen oranı sağlayıp sağlamadığı kontrol edilebilir (Örneğin şık 54 ise n(n−3)2=54⇒n=12\frac{n(n-3)}{2}=54 \Rightarrow n=12. Kontrol: 10⋅180/(360/12)=1800/30=6010 \cdot 180 / (360/12) = 1800 / 30 = 60. Doğru).
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic