Examkin

Question

Difficulty: MediumKümeler

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı AA, BB ve CC kümeleri aşağıdaki gibi verilmiştir:

A={x∈Z∣40≤x≤360,  x=3k} A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 3k \}
B={x∈Z∣40≤x≤360,  x=4m} B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 4m \}
C={x∈Z∣40≤x≤360,  x=5n} C = \{x \in \mathbb{Z} \mid 40 \le x \le 360, \; x = 5n \}

Buna göre, bu sayı aralığında bulunan elemanlardan kaç tanesi yalnızca iki kümeye aittir?

  1. A
    42
  2. 48Answer
  3. C
    54
  4. D
    60
  5. E
    66

Answer

Yalnızca iki kümeye ait eleman sayısı 48'dir.
İstenen bölge, Venn şemasında sadece iki kümenin kesiştiği ancak üçüncü kümenin dahil olmadığı 'yaprak' bölgeleridir. s(A∩B)s(A \cap B), s(A∩C)s(A \cap C) ve s(B∩C)s(B \cap C) değerlerinin toplamı, üç kümenin de kesiştiği orta göbeği (A∩B∩CA \cap B \cap C) üç kez içerir. Yalnızca iki kümeye ait olanları bulmak için, bu üçlü kesişim sayısı toplamdan 3 kez çıkarılmalıdır: (27+22+17)−3(6)=48(27+22+17) - 3(6) = 48.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin tanımlarını analiz et
AA kümesi 3'ün katları, BB kümesi 4'ün katları, CC kümesi 5'in katlarıdır. Aralık [40,360][40, 360] kapalı aralığıdır.
Soruda 'yalnızca iki kümeye ait' elemanlar sorulduğu için ikili kesişimlerin (EKOKEKOK) bulunması gerekir.
2
İkili kesişim kümelerinin eleman sayılarını hesapla
s(A∩B)s(A \cap B): 12'nin katları (EKOK(3,4)=12). Aralıkta: 360−4812+1=27\frac{360-48}{12} + 1 = 27 adet.
s(A∩C)s(A \cap C): 15'in katları (EKOK(3,5)=15). Aralıkta: 360−4515+1=22\frac{360-45}{15} + 1 = 22 adet.
s(B∩C)s(B \cap C): 20'nin katları (EKOK(4,5)=20). Aralıkta: 360−4020+1=17\frac{360-40}{20} + 1 = 17 adet.
Yalnızca iki kümeye ait olanları bulmak için önce tüm ikili kesişimlerin toplam boyutu bulunmalıdır.
3
Üçlü kesişim kümesinin eleman sayısını hesapla
s(A∩B∩C)s(A \cap B \cap C): 60'ın katları (EKOK(3,4,5)=60). Aralıkta: 60, 120, 180, 240, 300, 360. Toplam 6 adet.
İkili kesişimlerin her biri, üçlü kesişimi (A∩B∩CA \cap B \cap C) de kendi içinde barındırır. Bu fazlalıkların atılması gerekir.
4
Yalnızca iki kümeye ait eleman sayısını formülize et ve hesapla
Formül: [s(A∩B)+s(A∩C)+s(B∩C)]−3⋅s(A∩B∩C)[s(A \cap B) + s(A \cap C) + s(B \cap C)] - 3 \cdot s(A \cap B \cap C)
İşlem: (27+22+17)−3(6)=66−18=48(27 + 22 + 17) - 3(6) = 66 - 18 = 48.
Her bir ikili kesişim kümesi (örneğin A∩BA \cap B), 'sadece A ve B' ile 'A, B ve C' bölgelerinin toplamıdır. Üçlü kesişim bölgesi üç ikili kesişimde de sayıldığı için, 'yalnızca iki' bölgesini bulmak için 3 kez çıkarılmalıdır.

Key Concept

Kümelerde Kesişim ve Birleşim Problemleri (EKOK Uygulamaları)

Hints

1
Soruda 'yalnızca iki' kümeye ait elemanlar soruluyor. Önce hangi sayıların hem A hem B, hem A hem C, hem de B ve C kümelerinde ortak olduğunu (EKOK kullanarak) bulun.
2
12'nin, 15'in ve 20'nin katlarını bulduğunuzda, bu sayıların içinde 60'ın katları da (yani üç kümenin de elemanları) yer alır.
3
Her bir ikili kesişim grubunu topladığınızda, üç kümenin ortak elemanlarını (60'ın katlarını) fazladan saymış olursunuz. 'Yalnızca iki' bölgesi için, her ikili kesişimden üçlü kesişim sayısını çıkarmanız gerekir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic