Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)
A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} kümesi üzerinde tanımlı f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonunun birebir (injective) olduğu ve
f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3)
eşitsizliğini sağladığı bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ff fonksiyonu tanımlanabilir?

  1. A
    10
  2. 20Answer
  3. C
    60
  4. D
    120
  5. E
    125

Answer

Bu koşulları sağlayan 20 farklı fonksiyon tanımlanabilir.
Soruda f fonksiyonunun birebir olduğu belirtilmiştir. İlk üç eleman için f(1)<f(2)<f(3)f(1) < f(2) < f(3) şartı verildiğinden, A kümesinden seçeceğimiz herhangi 3 eleman bu şartı sağlayan tek bir sıralamaya sahiptir. 5 elemandan 3'ünü seçmenin yolu C(5,3)=10C(5,3) = 10'dur. Geriye kalan 2 eleman (4 ve 5), boşta kalan 2 görüntüye 2!=22! = 2 farklı şekilde gidebilir. Çarpma kuralı gereği toplam fonksiyon sayısı 10×2=2010 \times 2 = 20 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birebir fonksiyonun tanımını ve görüntü kümesi seçimini analiz etme
f birebir olduğu için A kümesindeki 5 eleman, A'daki 5 farklı elemana eşleşmelidir. f(1), f(2) ve f(3) için görüntü kümesinden 3 farklı eleman seçilmelidir.
Birebir fonksiyonlarda her tanım kümesi elemanı farklı bir görüntüye gitmelidir.
2
f(1) < f(2) < f(3) şartını sağlayan durumları sayma
A kümesinden seçilen herhangi 3 eleman (örneğin {1, 3, 5}), küçükten büyüğe tek bir şekilde sıralanabilir (1 < 3 < 5). Bu nedenle, bu üç eleman için sıralama değil sadece SEÇİM (kombinasyon) yapılır: C(5, 3) = 10.
Sıralama şartı verildiğinde permütasyon değil kombinasyon kullanılır, çünkü elemanlar seçildiğinde yerleri bellidir.
3
Geriye kalan elemanların (f(4) ve f(5)) durumunu hesaplama
Geriye kalan 2 eleman (4 ve 5), görüntü kümesinde kalan 2 boş yere birebir olacak şekilde 2! = 2 farklı şekilde eşleşebilir.
Fonksiyon A'dan A'ya ve birebir olduğu için tüm elemanlar eşleşmelidir.
4
Toplam durumu çarpma kuralı ile bulma
10 (seçim) x 2 (kalanların sıralanışı) = 20.
Olaylar bağımlı olduğu için çarpma kuralı uygulanır.

Key Concept

Birebir fonksiyonlarda belirli elemanlar arasındaki sıralama şartı, o elemanların görüntülerinin sadece seçilmesini (kombinasyon) gerektirirken; şart olmayan diğer elemanlar kendi aralarında yer değiştirebilir (permütasyon).

Hints

1
Önce f(1),f(2)f(1), f(2) ve f(3)f(3) değerlerinin alabileceği görüntüleri belirlemek için kümeden kaç eleman seçmeniz gerektiğini düşünün.

Practice More

Benzer mantıkla, f(1) < f(2) şartını sağlayan ancak örten olma zorunluluğu olmayan fonksiyon sayılarını araştıran bir soru çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Çeşitleri (Birebir, Örten, Sabit, Birim)

More questions from this topic