Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar

AA bir tam sayı olmak üzere, 40<A<7040 < A < 70 eşitsizliği verilmiştir.

AA sayısı ile 3030 sayısının aralarında asal olduğu bilindiğine göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı AA değeri vardır?

  1. A
    7
  2. 8Answer
  3. C
    9
  4. D
    10
  5. E
    15

Answer

Bu koşulu sağlayan 8 farklı değer vardır.
Soruda istenen AA değerlerinin 3030 ile aralarında asal olması gerekmektedir. 30=2⋅3⋅530 = 2 \cdot 3 \cdot 5 olduğundan, aradığımız AA sayısı bu çarpanların hiçbirine bölünmemelidir. 4040 ile 7070 arasındaki sayılar incelendiğinde; çift sayılar, 3'ün katları ve 5'in katları elendiğinde geriye 41,43,47,49,53,59,61,6741, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67 sayıları kalır. Bu küme toplam 8 elemanlıdır. Dikkat edilmesi gereken nokta, 4949 sayısı asal olmamasına rağmen (7⋅77 \cdot 7), 3030 ile ortak böleni olmadığı için şartı sağlamaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Aralarında asallık şartını incelemek için 30 sayısını asal çarpanlarına ayır.
30=2×3×530 = 2 \times 3 \times 5
İki sayının aralarında asal olması için ortak asal çarpanlarının olmaması gerekir. Bu nedenle A sayısı 2, 3 veya 5'e bölünmemelidir.
2
Verilen 40<A<7040 < A < 70 aralığındaki tüm sayıları düşünerek eleme yöntemini uygula. Öncelikle 2'ye bölünenleri (çift sayıları) ele.
Geriye kalan tek sayılar: 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69.
A sayısı 30 ile aralarında asal olacağı için 2 çarpanını içermemelidir.
3
Kalan tek sayılar arasından 3'e bölünenleri ele.
Elenenler: 45, 51 (5+1=65+1=6), 57 (5+7=125+7=12), 63 (6+3=96+3=9), 69 (6+9=156+9=15).
A sayısı 3 çarpanını da içermemelidir. Rakamları toplamı 3'ün katı olanlar elenir.
4
Kalan sayılar arasından 5'e bölünenleri ele.
Elenenler: 55, 65 (Sonu 0 veya 5 olanlar).
A sayısı 5 çarpanını da içermemelidir.
5
Tüm elemelerden sonra geriye kalan sayıları listele ve say.
Kalan sayılar: 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67. Toplam 8 sayı.
Bu sayılar 30 ile ortak bir asal çarpana sahip değildir.

Key Concept

İki sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif tam sayı bölenleri olmamalıdır.

Hints

1
30 sayısının asal çarpanlarını bularak işe başlayın.
2
30 = 2 · 3 · 5 olduğundan, A sayısı 2, 3 ve 5'e bölünmemelidir.
3
40 ile 70 arasındaki tek sayıları yazın ve içlerinden 3'ün veya 5'in katı olanları eleyin.

Practice More

Aralığın genişlediği (örneğin 1'den 120'ye kadar) ve Euler ϕ\phi fonksiyonunun kullanılabileceği sorular çözülebilir.

Alternative Method

Toplam sayı adedinden, istenmeyen özellikleri sağlayan kümelerin birleşimini çıkarma (Kümeler Prensibi) yöntemi de kullanılabilir, ancak bu aralık için doğrudan saymak (eleme yöntemi) daha hızlıdır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic