Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde, DD noktası [BC][BC] kenarı üzerindeki orta noktadır. ∣AB∣=10|AB| = 10 cm ve ∣AC∣=24|AC| = 24 cm'dir.

m(BAC^)>90∘m(\widehat{BAC}) > 90^\circ olduğu bilindiğine göre, ∣AD∣=x|AD| = x uzunluğunun santimetre cinsinden alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

x değeri 5 farklı tam sayı değeri alabilir
Soruda verilen ADAD bir kenarortaydır. Kenarortay uzunluğu xx, genel kural olarak ∣b−c∣2<x<b+c2\frac{|b-c|}{2} < x < \frac{b+c}{2} aralığındadır; bu da 7<x<177 < x < 17 sonucunu verir. Ancak soruda m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ (geniş açı) bilgisi verilmiştir. Geniş açılı bir üçgende, o açıdan çıkan kenarortay, dik üçgen durumundaki uzunluktan daha kısadır (x<a2x < \frac{a}{2}). Dik üçgen olsaydı hipotenüs 26, kenarortay 13 olurdu. Geniş açı olduğu için x<13x < 13 olmalıdır. İki koşul birleştirildiğinde 7<x<137 < x < 13 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 8, 9, 10, 11 ve 12 olmak üzere 5 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Kenarortay uzunluğu için genel üçgen eşitsizliği sınırlarını belirle.
∣24−10∣2<x<24+102  ⟹  7<x<17\frac{|24-10|}{2} < x < \frac{24+10}{2} \implies 7 < x < 17
Bir üçgende kenarortay uzunluğu (xx), yan kenarların farkının yarısından büyük, toplamının yarısından küçüktür.
2
m(A^)>90∘m(\widehat{A}) > 90^\circ koşulunun kenarortay üzerindeki etkisini incele.
x<102+2422  ⟹  x<262  ⟹  x<13x < \frac{\sqrt{10^2 + 24^2}}{2} \implies x < \frac{26}{2} \implies x < 13
Eğer m(A^)=90∘m(\widehat{A}) = 90^\circ olsaydı muhteşem üçlü gereği x=a2=13x = \frac{a}{2} = 13 olurdu. A açısı genişledikçe (>90∘>90^\circ), karşısındaki kenar (aa) büyür ancak A köşesinden çıkan kenarortay (xx) küçülür.
3
İki eşitsizlik sistemini birleştirerek ortak çözüm aralığını bul.
7<x<137 < x < 13
Genel sınır (7<x<177 < x < 17) ile açı kısıtlamasının (x<13x < 13) kesişimi alınır.
4
Aralıktaki tam sayıları say.
8, 9, 10, 11, 12 (Toplam 5 tane)
Bulunan aralıktaki tam sayılar listelenir.

Key Concept

Üçgende kenarortay uzunluğu, yan kenarların farkının yarısı ile toplamının yarısı arasındadır. Ayrıca açı türüne (dar/geniş) göre üst veya alt sınır daralır.

Hints

1
Bir üçgende kenarortay uzunluğu (VaV_a), diğer iki kenarın toplamının yarısından küçük, farkının yarısından büyüktür.
2
Kenarortay doğrusunu üçgenin dışına doğru kendi uzunluğu kadar uzatarak bir paralelkenar oluşturabilir veya muhteşem üçlü kuralını referans alabilirsiniz.
3
Eğer A açısı 90∘90^\circ olsaydı, Pisagor teoreminden hipotenüs 26, kenarortay ise 13 olurdu. A açısı 90∘90^\circ'den büyük olduğuna göre kenarortay 13'ten küçük olmalıdır.

Practice More

Benzer bir soruyu, A açısının 90∘90^\circ'den küçük (dar açı) olduğu durum için çözünüz.

Alternative Method

Kenarortay formülünü (2x2=b2+c2−a2/22x^2 = b^2 + c^2 - a^2/2) ve Kosinüs teoremi mantığını kullanarak a2>b2+c2a^2 > b^2 + c^2 eşitsizliğinden xx için üst sınır türetilebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

More questions from this topic