Examkin

Question

Difficulty: HardÇokgenler

Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsüne bölündüğünde sonucun bir pozitif tam sayının karesine eşit olduğu görülmektedir.

Buna göre, bu düzgün çokgenin kenar sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Answer
  4. D
    12
  5. E
    18

Answer

Düzgün çokgenin kenar sayısı 10 olabilir.
Düzgün çokgenin kenar sayısı n=10n=10 olduğunda, bir dış açısı 360/10=36∘360/10 = 36^\circ ve bir iç açısı 180−36=144∘180 - 36 = 144^\circ olur. Bu değerlerin oranı 144/36=4144/36 = 4 tür. 44 sayısı 22 nin karesi (222^2) olduğundan, sorudaki 'bir tam sayının karesine eşittir' şartını sağlayan tek seçenek budur.

Step-by-Step Solution

1
Düzgün çokgenin bir dış açısına α\alpha diyelim. Bu durumda bir iç açısı 180∘−α180^\circ - \alpha olur.
İç Açı = 180−α180 - \alpha, Dış Açı = α\alpha
Bir düzgün çokgende iç ve dış açıların toplamı 180∘180^\circ dir.
2
Soruda verilen ilişkiyi denkleme dökelim. Oran bir tam sayının (kk) karesine eşittir.
180−αα=k2\frac{180 - \alpha}{\alpha} = k^2
Problem metnindeki matematiksel ilişkiyi formüle etmek için.
3
Denklemi sadeleştirip kenar sayısı (nn) formülüne uyarlayalım. n=360αn = \frac{360}{\alpha} olduğunu hatırlayalım.
180α−1=k2⇒180α=k2+1\frac{180}{\alpha} - 1 = k^2 \Rightarrow \frac{180}{\alpha} = k^2 + 1. İki tarafı 2 ile çarparsak: 360α=2(k2+1)⇒n=2k2+2\frac{360}{\alpha} = 2(k^2 + 1) \Rightarrow n = 2k^2 + 2
Kenar sayısını doğrudan kk tam sayısına bağlamak için.
4
Seçenekleri deneyerek hangisinin n=2k2+2n = 2k^2 + 2 formuna uyduğunu kontrol edelim.
n=10n=10 için: 10=2k2+2⇒8=2k2⇒k2=4⇒k=210 = 2k^2 + 2 \Rightarrow 8 = 2k^2 \Rightarrow k^2 = 4 \Rightarrow k=2. (Uygun)
Doğru kenar sayısını tespit etmek için.

Key Concept

Düzgün Çokgenlerde Açı Bağıntıları

Hints

1
Düzgün çokgenin bir dış açısına xx diyerek, iç açısını 180−x180-x cinsinden yazmayı deneyin.
2
İç açının dış açıya oranı (180−x)/x=k2(180-x)/x = k^2 denklemini kurun. Burada kk bir tam sayıdır.
3
Kenar sayısının n=360/xn = 360/x olduğunu hatırlayın. Kurduğunuz denklemde 360/x360/x ifadesini elde etmeye çalışın. n=2(k2+1)n = 2(k^2 + 1) bağıntısını bulacaksınız.

Practice More

Benzer mantıkla, iç açısının dış açısına oranı tam sayı olan düzgün çokgenlerin kenar sayılarının toplamını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Şıklardan giderek çözüm: Her bir şık için dış açıyı (360/n360/n) ve iç açıyı (180−dıs¸180 - \text{dış}) bulup birbirine bölün. Sonucun hangi şıkta bir tam sayının karesi (4, 9, 16...) olduğunu kontrol edin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic