Examkin

Question

Difficulty: MediumÇokgenler

Bir dışbükey çokgenin kenar sayısı, bir köşesinden çizilen köşegen sayısı ve bu köşegenlerin çokgeni ayırdığı üçgen sayısının toplamı 2222 olarak verilmiştir. Buna göre, bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

  1. A
    900∘900^{\circ}
  2. B
    1080∘1080^{\circ}
  3. 1260∘1260^{\circ}Answer
  4. D
    1440∘1440^{\circ}
  5. E
    1620∘1620^{\circ}

Answer

Söz konusu dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 1260∘1260^{\circ} olarak hesaplanır.
Çokgenin kenar sayısı nn ise, bir köşesinden çizilen köşegen sayısı n−3n-3 ve bu köşegenlerin ayırdığı üçgen sayısı n−2n-2 olur. Verilen toplam n+n−3+n−2=22n + n-3 + n-2 = 22 eşitliğinden 3n−5=223n-5=22 ve buradan n=9n=9 bulunur. Dokuzgenin iç açılar toplamı ise (9−2)×180∘=1260∘(9-2) \times 180^{\circ} = 1260^{\circ} şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
Çokgenin temel özelliklerini temsil eden değişkenlerin belirlenmesi.
Kenar sayısı: nn, bir köşeden çizilen köşegen sayısı: n−3n-3, oluşan üçgen sayısı: n−2n-2.
Dışbükey bir çokgende bir köşeden n−3n-3 tane köşegen çizilir ve bu köşegenler çokgeni n−2n-2 tane üçgene ayırır.
2
Soruda verilen toplam bilgisinin denkleme dökülmesi.
n+(n−3)+(n−2)=22n + (n-3) + (n-2) = 22
Kenar sayısı, köşegen sayısı ve üçgen sayısının toplamının 2222 olduğu ifade edilmiştir.
3
Kurulan denklemin çözülerek kenar sayısının (nn) bulunması.
3n−5=22⇒3n=27⇒n=93n - 5 = 22 \Rightarrow 3n = 27 \Rightarrow n = 9.
Değişkenlerin birleştirilmesi ve sabit terimlerin karşıya atılmasıyla kenar sayısı elde edilir.
4
İç açılar toplamı formülünün uygulanması.
(9−2)×180∘=7×180∘=1260∘(9-2) \times 180^{\circ} = 7 \times 180^{\circ} = 1260^{\circ}.
nn kenarlı bir dışbükey çokgenin iç açılar toplamı (n−2)×180∘(n-2) \times 180^{\circ} formülü ile bulunur.

Key Concept

Dışbükey çokgenlerde kenar sayısı ile köşegen ve oluşan üçgen sayıları arasındaki bağıntılar.

Hints

1
Bir dışbükey çokgende bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısının kenar sayısından 33 eksik olduğunu hatırlayın.
2
Bu köşegenler çokgeni kaç adet üçgene ayırır? Kenar sayısı nn ise bu sayı n−2n-2 olur.
3
n+(n−3)+(n−2)=22n + (n-3) + (n-2) = 22 denklemini çözerek kenar sayısını bulun, ardından iç açılar toplamı formülünü uygulayın.

Practice More

Düzgün çokgenlerde bir iç açının nasıl bulunduğuna dair sorularla pratik yapabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Çokgenler

More questions from this topic