Examkin

Question

Difficulty: MediumKümeler

AA ve BB birer küme olmak üzere,

s(A∖B)=s(A∩B)+3s(B∖A)=2⋅s(A∩B)s(A∪B)=19\begin{aligned} s(A \setminus B) &= s(A \cap B) + 3 \\ s(B \setminus A) &= 2 \cdot s(A \cap B) \\ s(A \cup B) &= 19 \end{aligned}

olduğuna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

  1. 11Answer
  2. B
    12
  3. C
    7
  4. D
    8
  5. E
    4

Answer

A kümesinin eleman sayısı 11'dir.
Verilen bağıntılar kullanılarak kesişim kümesine xx dendiğinde, AA fark BB kümesi x+3x+3, BB fark AA kümesi ise 2x2x olur. Bu üç bölgenin toplamı birleşim kümesini (19) verdiğinden 4x+3=194x+3=19 denkleminden x=4x=4 bulunur. AA kümesi ise (x+3)+x(x+3) + x toplamından 7+4=117+4=11 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kesişim kümesinin eleman sayısına bir değişken atayın.
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x olsun.
Diğer tüm bölgeler kesişim kümesine bağlı olarak tanımlanmıştır.
2
Diğer bölgeleri xx cinsinden ifade edin.
s(A∖B)=x+3s(A \setminus B) = x + 3 ve s(B∖A)=2xs(B \setminus A) = 2x.
Soruda verilen eşitlikler kullanılmıştır.
3
Birleşim formülünü kullanarak denklem kurun.
(x+3)+x+2x=19  ⟹  4x+3=19(x + 3) + x + 2x = 19 \implies 4x + 3 = 19.
Birleşim kümesi, ayrık olan A∖BA \setminus B, A∩BA \cap B ve B∖AB \setminus A bölgelerinin toplamıdır.
4
Denklemi çözerek xx değerini bulun.
4x=16  ⟹  x=44x = 16 \implies x = 4.
Kesişim kümesinin eleman sayısı belirlenmiştir.
5
AA kümesinin eleman sayısını hesaplayın.
s(A)=s(A∖B)+s(A∩B)=(x+3)+x=7+4=11s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = (x + 3) + x = 7 + 4 = 11.
A kümesi, kendisine ait fark bölgesi ile kesişim bölgesinin birleşimidir.

Key Concept

Küme işlemlerinde bölgelerin ayrık olarak incelenmesi ve birleşim prensibi.

Hints

1
Venn şeması çizerek bölgeleri harflerle veya değişkenlerle isimlendirin.
2
Kesişim bölgesine xx derseniz, diğer bölgeleri bu xx türünden yazıp birleşimin toplamına eşitleyebilirsiniz.
3
AA kümesinin eleman sayısının s(A∖B)+s(A∩B)s(A \setminus B) + s(A \cap B) olduğunu unutmayın.

Practice More

Benzer bir soruyu, eleman sayıları yerine alt küme sayıları verildiğinde nasıl çözeceğinizi düşünün.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Kümeler

More questions from this topic