Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff doğrusal fonksiyonu için
f(x+2)+f(2x−1)=6x+8f(x+2) + f(2x-1) = 6x + 8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, f(4)f(4) değeri kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    10
  3. 11Answer
  4. D
    12
  5. E
    13

Answer

11
Fonksiyon doğrusal olduğu için f(x)=ax+bf(x)=ax+b formundadır. Verilen eşitlikte yerlerine yazıldığında xx'li terimlerin katsayısından 3a=63a=6 yani a=2a=2 bulunur. Sabit terimlerin eşitliğinden a+2b=8a+2b=8 bulunur; a=2a=2 yerine konulduğunda 2b=62b=6 ve b=3b=3 elde edilir. Böylece f(x)=2x+3f(x)=2x+3 olur. f(4)f(4) değeri ise 2(4)+3=112(4)+3=11 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Doğrusal fonksiyonun genel denklemini yaz
f(x)=ax+bf(x) = ax + b formundadır.
Soruda fonksiyonun 'doğrusal' olduğu belirtilmiştir.
2
Verilen eşitlikte f(x)f(x) ifadesini yerine koy
f(x+2)=a(x+2)+b=ax+2a+bf(x+2) = a(x+2) + b = ax + 2a + b ve f(2x−1)=a(2x−1)+b=2ax−a+bf(2x-1) = a(2x-1) + b = 2ax - a + b
Fonksiyon kuralını değişkenlere uygulamak gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri topla ve verilen eşitliğe eşitle
(ax+2a+b)+(2ax−a+b)=3ax+a+2b(ax + 2a + b) + (2ax - a + b) = 3ax + a + 2b. Bu ifade 6x+86x + 8'e eşittir.
Polinom eşitliği ilkesini kullanmak için.
4
Aynı dereceli terimlerin katsayılarını eşitleyerek aa ve bb değerlerini bul
3a=6⇒a=23a = 6 \Rightarrow a = 2 ve a+2b=8⇒2+2b=8⇒2b=6⇒b=3a + 2b = 8 \Rightarrow 2 + 2b = 8 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3. Fonksiyon f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3.
Fonksiyonun kuralını belirlemek için.
5
Bulunan fonksiyonda x=4x=4 değerini hesapla
f(4)=2(4)+3=8+3=11f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11.
Sorulan değeri bulmak için.

Key Concept

Doğrusal Fonksiyonlar ve Polinom Eşitliği

Hints

1
Soruda 'doğrusal fonksiyon' dendiği için f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde bir denklem kurarak başlayın.
2
Eşitliğin sol tarafında f(x+2)f(x+2) için a(x+2)+ba(x+2)+b ve f(2x−1)f(2x-1) için a(2x−1)+ba(2x-1)+b ifadelerini yazıp toplayın.
3
Topladığınız ifadeleri 6x+86x+8 ile eşleştirin. xx'in katsayısı 3a=63a=6 olmalı, sabit terimler toplamı ise 88 olmalıdır.

Practice More

Benzer bir mantıkla kurulan, ancak f(x)f(x) yerine f(x2)f(x^2) içeren ve çift fonksiyon özelliği gerektiren sorular çözülebilir.

Alternative Method

Değer verme yöntemi (bazı durumlarda riskli olsa da): x=1x=1 vererek f(3)+f(1)=14f(3)+f(1)=14 ve x=2x=2 vererek f(4)+f(3)=20f(4)+f(3)=20 denklemleri bulunup, doğrusal fonksiyonun artış miktarı (aa) üzerinden gidilebilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic