Examkin

Question

Difficulty: MediumBasamak Analizi ve Çözümleme
Rakamları birbirinden farklı AA, BB ve CC rakamlarıyla oluşturulan üç basamaklı ABCABC doğal sayısı için;
ABC=41⋅(A+C)+BABC = 41 \cdot (A + C) + B
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A⋅B−CA \cdot B - C ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    13
  3. 15Answer
  4. D
    16
  5. E
    21

Answer

Doğru cevap 15'tir.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 59A+9B=40C59A + 9B = 40C elde edilir. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için A+B=10A+B=10 olmalıdır. Bu şartı sağlayan ve sonucu tam sayı yapan tek çözüm kümesi A=3,B=7,C=6A=3, B=7, C=6'dır. İstenen A⋅B−CA \cdot B - C değeri ise 3⋅7−6=153 \cdot 7 - 6 = 15 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC doğal sayısını çözümleyin ve eşitlikte yerine yazın.
100A+10B+C=41A+41C+B100A + 10B + C = 41A + 41C + B
Basamak analizi sorularında sayıların çözümlenmiş hali (100A+10B+C) kullanılarak rakamlar arasındaki ilişki bulunur.
2
Eşitliği düzenleyerek benzer terimleri bir araya toplayın.
59A+9B=40C59A + 9B = 40C
Denklemi sadeleştirip katsayılar üzerinden yorum yapabilmek için.
3
59A+9B59A + 9B ifadesinin son basamağını inceleyerek AA ve BB için olası değerleri belirleyin.
Eşitliğin sağ tarafı (40C40C) 10'un katı olduğu için son basamağı 0'dır. Sol tarafın (59A+9B59A + 9B) da son basamağı 0 olmalıdır. Bu durum, 9(A+B)9(A+B) ifadesinin 10'un katı olmasını, dolayısıyla A+B=10A+B=10 olmasını gerektirir.
Katsayı analizi ve modüler aritmetik (birler basamağı kontrolü) deneme yanılma sürecini kısaltır.
4
A+B=10A+B=10 şartını sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan (A,B)(A, B) ikililerini deneyerek CC'nin rakam olup olmadığını kontrol edin.
- A=1,B=9  ⟹  59(1)+9(9)=140A=1, B=9 \implies 59(1)+9(9)=140 (40'a bölünmez)
- A=2,B=8  ⟹  59(2)+9(8)=190A=2, B=8 \implies 59(2)+9(8)=190 (40'a bölünmez)
- A=3,B=7  ⟹  59(3)+9(7)=177+63=240A=3, B=7 \implies 59(3)+9(7)=177+63=240. 40C=240  ⟹  C=640C=240 \implies C=6. (Rakamlar farklı: 3, 7, 6. SAĞLAR)
- Diğer durumlar (A=4A=4 ve sonrası) 40'a bölünmez veya CC rakam olmaz.
Bulunan aday değerlerin tüm şartları (rakam olma, birbirinden farklı olma) sağladığını doğrulamak gerekir.
5
Bulunan A=3,B=7,C=6A=3, B=7, C=6 değerlerini istenen işlemde yerine yazın.
A⋅B−C=3⋅7−6=21−6=15A \cdot B - C = 3 \cdot 7 - 6 = 21 - 6 = 15
Sorunun nihai cevabını hesaplamak için.

Key Concept

Sayı çözümleme ve katsayı analizi ile doğrusal Diophantine denklem çözümü.

Hints

1
ABCABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek eşitliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucu 59A+9B=40C59A + 9B = 40C elde edeceksiniz. Eşitliğin sağ tarafı 10'un katı olduğu için sol tarafın da birler basamağı 0 olmalıdır.
3
9(A+B)9(A+B) ifadesinin sonunun 0 olması için A+B=10A+B=10 olmalıdır. AA yerine 1, 2, 3... değerlerini deneyerek CC'nin bir rakam olup olmadığını kontrol edin.

Practice More

Benzer bir mantıkla ABC=k⋅(A+B+C)ABC = k \cdot (A+B+C) tipindeki soruları çözerek basamak analizi pratiği yapabilirsiniz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic