Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme
A, B ve C sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar olmak üzere; ABC, BCA ve CAB üç basamaklı doğal sayıları için
ABC+BCA+CAB=1665ABC + BCA + CAB = 1665
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, A<B<CA < B < C koşulunu sağlayan en büyük ABC sayısı ile en küçük ABC sayısının toplamı kaçtır?

  1. A
    516
  2. B
    605
  3. 615Answer
  4. D
    624
  5. E
    660

Answer

En küçük sayı 159 ve en büyük sayı 456 olduğundan toplamları 615'tir.
Verilen eşitlik 111(A+B+C)=1665111(A+B+C)=1665 şeklinde sadeleşir, buradan A+B+C=15A+B+C=15 bulunur. A<B<CA<B<C şartını sağlayan ayrık rakamlar için;
En küçük ABC sayısı, A'nın en küçük (1) olduğu durumda aranır: 1+B+C=15→B+C=141+B+C=15 \rightarrow B+C=14. Bu şartı sağlayan en küçük B değeri 5'tir (çünkü B<CB<C olmalı, 6+86+8 veya 5+95+9 olabilir). En küçük sayı 159'dur.
En büyük ABC sayısı, A'nın en büyük olduğu durumda aranır: A=5 olsa B+C=10B+C=10 olmalı, ancak 5<B<C5<B<C şartıyla bu imkansızdır (en az 6+7=136+7=13). O halde A=4 olur, B+C=11B+C=11. Bu şartı sağlayan 4<5<64<5<6 seti vardır. En büyük sayı 456'dır.
Toplam: 159+456=615159 + 456 = 615.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi basamaklarına ayırarak çözümleyiniz.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=111(A+B+C)(100A+10B+C) + (100B+10C+A) + (100C+10A+B) = 111(A+B+C)
Sayıların basamak değerlerini toplayarak genel denklemi basitleştirmek için.
2
Elde edilen ifadeyi 1665'e eşitleyip A+B+CA+B+C toplamını bulunuz.
111(A+B+C)=1665  ⟹  A+B+C=15111(A+B+C) = 1665 \implies A+B+C = 15
Rakamların toplamının kaç olması gerektiğini belirlemek için.
3
A<B<CA < B < C koşulunu ve rakamların farklı olmasını gözeterek olası en küçük ve en büyük ABC sayılarını belirleyiniz.
En küçük A=1 için 1+5+9=151+5+9=15 (159). En büyük A=4 için 4+5+6=154+5+6=15 (456).
İstenen koşulları sağlayan sınır değerleri tespit etmek için.
4
Bulunan en büyük ve en küçük değerleri toplayınız.
159+456=615159 + 456 = 615
Soruda istenen nihai sonucu bulmak için.

Key Concept

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

Hints

1
Verilen eşitliği 100A+10B+C100A+10B+C formatında açarak ortak paranteze alınız. 111 sayısının çarpanı ortaya çıkacaktır.
2
111(A+B+C)=1665111(A+B+C) = 1665 eşitliğinden rakamların toplamının 15 olduğunu bulabilirsiniz. Şimdi A<B<CA<B<C kuralına uyan üçlüleri listeleyin.
3
Toplamı 15 olan rakamlar için; A=1 iken B en az kaç olabilir? A en fazla kaç olabilir (A=5 olursa B+C kaç olmalı)? Bu sınırları kontrol edin.

Practice More

Aynı toplamı (15) veren rakamlarla yazılabilecek, rakamları farklı tüm üç basamaklı sayıların toplamı kaçtır?
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic