Examkin

Question

Difficulty: HardÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Uzunlukları 10 cm ve 24 cm olan iki metal çubuk, birer uçlarından hareketli bir menteşe ile birleştirilmiştir. Çubuklar arasındaki açı α\alpha olmak üzere, 60∘<α<90∘60^\circ < \alpha < 90^\circ aralığında değişmektedir.

Bu iki çubuğun diğer uçları arasındaki mesafe xx cm olduğuna göre, xx'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    4
  2. 5Answer
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    8

Answer

x'in alabileceği 5 farklı tam sayı değeri vardır.
Üçgende bir kenar uzunluğu, karşısındaki açı büyüdükçe artar. Verilen 10 cm ve 24 cm'lik kenarlar arasındaki açı 60 derece olduğunda, Kosinüs Teoremi gereği karşı kenarın karesi 102+242−2⋅10⋅24⋅(1/2)=43610^2 + 24^2 - 2\cdot10\cdot24\cdot(1/2) = 436 olur. Açı 90 derece olduğunda ise Pisagor Teoremi gereği 102+242=67610^2 + 24^2 = 676 olur. Açı bu değerler arasında olduğu için x2x^2 değeri 436 ile 676 arasında olmalıdır. 436≈20,8\sqrt{436} \approx 20,8 ve 676=26\sqrt{676} = 26 olduğundan, xx değeri 20,8'den büyük ve 26'dan küçük olmalıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 21, 22, 23, 24 ve 25'tir.

Step-by-Step Solution

1
Açı 60 derece olduğunda alt sınırı hesapla (Kosinüs Teoremi mantığı).
x2=102+242−2⋅10⋅24⋅cos⁡(60∘)=100+576−240=436x^2 = 10^2 + 24^2 - 2 \cdot 10 \cdot 24 \cdot \cos(60^\circ) = 100 + 576 - 240 = 436. Yani x=436≈20,8x = \sqrt{436} \approx 20,8.
Kenar uzunluğu açı ile doğru orantılı değişir; en küçük açı en küçük kenarı verir.
2
Açı 90 derece olduğunda üst sınırı hesapla (Pisagor Teoremi).
x2=102+242=100+576=676x^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676. Yani x=676=26x = \sqrt{676} = 26.
En büyük açı en büyük kenar uzunluğunu verir (dik üçgen durumu).
3
Bulunan aralıktaki tam sayıları belirle.
Aralık (20,8;26)(20,8; 26) şeklindedir. Tam sayılar: 21, 22, 23, 24, 25.
Eşitsizlik kesin (küçüktür) olduğu için 26 dahil edilmez.

Key Concept

Kenar-Açı İlişkisi ve Kosinüs Teoremi Sınırları

Hints

1
Çubukların uçları arasındaki mesafe, aradaki açı büyüdükçe artar. Sınır değerleri olan 60 ve 90 derece için uzunlukları hesaplamalısın.
2
Açı 90 derece olsaydı, Pisagor teoremi ile (5-12-13 üçgeninin katları) x kaç olurdu?
3
Açı 60 derece olduğunda Kosinüs teoremi (c2=a2+b2−2abcos⁡(C)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)) kullanarak alt sınırı bul. cos⁡(60)=1/2\cos(60) = 1/2'dir.

Practice More

Benzer bir soruyu 'geniş açı' şartı ile (90 < alpha < 120) çözmeyi deneyin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

More questions from this topic