Examkin

Question

Difficulty: HardBasamak Analizi ve Çözümleme

Sıfırdan farklı AA, BB ve CC rakamları kullanılarak oluşturulan üç basamaklı ABCABC, BCABCA ve CABCAB doğal sayıları için;

A<B<CA < B < C
ABC+BCA+CAB=1665ABC + BCA + CAB = 1665

koşulları sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

  1. A
    6
  2. B
    7
  3. 8Answer
  4. D
    9
  5. E
    10

Answer

Koşulları sağlayan 8 farklı ABC sayısı vardır.
Verilen toplama işlemi çözümlendiğinde 111(A+B+C)=1665111(A+B+C) = 1665 elde edilir, buradan A+B+C=15A+B+C=15 bulunur. A<B<CA<B<C koşulunu sağlayan rakam üçlüleri sistemli olarak sayıldığında; A=1 için 2, A=2 için 3, A=3 için 2 ve A=4 için 1 durum olmak üzere toplamda 8 farklı değer elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sayıları çözümleyerek toplama işlemini basitleştir.
(100A+10B+C)+(100B+10C+A)+(100C+10A+B)=111(A+B+C)(100A + 10B + C) + (100B + 10C + A) + (100C + 10A + B) = 111(A + B + C)
Basamak analizi problemlerinde sayıları çözümleyerek A,B,CA, B, C rakamları arasında doğrusal bir ilişki kurmak gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi verilen toplama eşitle ve A+B+CA+B+C değerini bul.
111(A+B+C)=1665⇒A+B+C=15111(A + B + C) = 1665 \Rightarrow A + B + C = 15
Denklemi çözerek rakamların toplam kısıtını belirlemek çözüm kümesini daraltır.
3
A<B<CA < B < C koşulunu ve A+B+C=15A+B+C=15 eşitliğini sağlayan (A,B,C)(A, B, C) üçlülerini sistemli bir şekilde listele.
Olası durumlar belirlenir.
Rakamlar kümesinde (11 ile 99 arası) deneme yoluyla uygun üçlüler bulunur.
4
Her bir AA değeri için olası BB ve CC değerlerini kontrol et.
Durumlar:
- A=1A=1 için B+C=14⇒(5,9),(6,8)B+C=14 \Rightarrow (5,9), (6,8) (2 adet)
- A=2A=2 için B+C=13⇒(4,9),(5,8),(6,7)B+C=13 \Rightarrow (4,9), (5,8), (6,7) (3 adet)
- A=3A=3 için B+C=12⇒(4,8),(5,7)B+C=12 \Rightarrow (4,8), (5,7) (2 adet)
- A=4A=4 için B+C=11⇒(5,6)B+C=11 \Rightarrow (5,6) (1 adet)
- A=5A=5 için B+C=10⇒B+C=10 \Rightarrow Uygun B,CB,C yok (B>5B>5 olmalı, en az 6+7=13 > 10)
AA değerini sabitleyip BB ve CC için olası toplamları incelemek hata yapmayı önler.
5
Bulunan tüm durum sayılarını topla.
2+3+2+1=82 + 3 + 2 + 1 = 8 farklı sayı vardır.
Sonuç adımı.

Key Concept

Sayı Basamakları ve Çözümleme

Hints

1
Sayıları basamak değerlerine göre çözümleyin (örneğin ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C). Tüm terimleri topladığınızda A,BA, B ve CC parantezinde ortak bir çarpan bulacaksınız.
2
Çözümleme sonucunda 111(A+B+C)=1665111(A + B + C) = 1665 denklemini elde etmelisiniz. Buradan A+B+CA+B+C toplamını bulun.
3
A+B+C=15A + B + C = 15 ve A<B<CA < B < C koşullarını sağlayan sayıları bulmak için AA değerini 1'den başlatarak deneyin. A=5A=5 olduğunda BB ve CC için uygun değer kalmadığını göreceksiniz.

Practice More

Rakamları toplamı sabit olan üç basamaklı sayıların kaç tanesinin rakamlarının artan sırada olduğunu soran benzer bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Değer vererek ilerlemek yerine, CC için üst sınırdan başlayarak geriye doğru saymak da mümkündür ancak AA en küçük olduğu için AA'dan başlamak işlem yükünü azaltır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic