Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar

xx ve yy pozitif tam sayılar olmak üzere, (x−2)(x-2) ve (y+3)(y+3) ifadeleri aralarında asal sayılardır.

(x−2)⋅(y+3)=72(x-2) \cdot (y+3) = 72


eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, xx'in alabileceği kaç farklı değer vardır?
  1. A
    2
  2. 3Answer
  3. C
    4
  4. D
    9
  5. E
    12

Answer

x'in alabileceği 3 farklı değer vardır.
Verilen eşitlikte çarpımları 72 olan ve aralarında asal olan sayı çiftleri incelenmelidir. Ayrıca y pozitif tam sayı olduğu için (y+3) çarpanı 4 veya daha büyük olmalıdır. Bu şartları sağlayan çiftler (1, 72), (8, 9) ve (9, 8)'dir. Buradan 3 farklı x değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadeyi çarpanlarına ayırma formatına getir.
A = x-2 ve B = y+3 olsun. A · B = 72 ve EBOB(A, B) = 1 olmalıdır.
Soruda (x-2) ve (y+3)'ün aralarında asal olduğu belirtilmiştir, bu yüzden 72'nin aralarında asal çarpan çiftlerini bulmalıyız.
2
x ve y için tanım kümesi kısıtlamalarını belirle.
x, y ∈ Z⁺ olduğundan y ≥ 1 ⇒ y + 3 ≥ 4 olmalıdır. Yani B ≥ 4 şartı sağlanmalıdır.
Pozitif tam sayı şartı, çarpanların alabileceği değerleri sınırlar.
3
72 sayısının aralarında asal çarpan çiftlerini (A, B) listele ve B ≥ 4 şartını kontrol et.
1. Çift (1, 72): Aralarında asal. B=72 ≥ 4 (Uygun). x-2=1 ⇒ x=3.
2. Çift (8, 9): Aralarında asal. B=9 ≥ 4 (Uygun). x-2=8 ⇒ x=10.
3. Çift (9, 8): Aralarında asal. B=8 ≥ 4 (Uygun). x-2=9 ⇒ x=11.
4. Çift (72, 1): Aralarında asal. B=1 < 4 (Uygun DEĞİL).
Ardışık sayılar (8 ve 9) ve 1 ile tüm sayılar (1 ve 72) aralarında asaldır. Diğer çiftler (2,36), (3,24) vb. elenir.
4
Uygun x değerlerini say.
x değerleri: 3, 10 ve 11. Toplam 3 farklı değer.
Sadece şartları sağlayan çiftlerden elde edilen x değerleri geçerlidir.

Key Concept

Aralarında Asal Sayılar ve Çarpan Analizi

Hints

1
72 sayısının tüm pozitif çarpanlarını ikili gruplar halinde (çarpımları 72 olacak şekilde) yazarak başlayın.
2
Yazdığınız çiftlerden sadece 'ortak böleni 1 olanları' (aralarında asal olanları) seçin. Ardışık sayıların (8 ve 9 gibi) ve 1 ile herhangi bir sayının her zaman aralarında asal olduğunu hatırlayın.
3
Bulduğunuz çiftlerde (y+3) değerinin en az kaç olabileceğine dikkat edin. y pozitif bir tam sayı olduğuna göre, y+3 sayısı 3'ten büyük olmalıdır.

Practice More

Benzer mantıkla, toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine yakın seçilmesi gerektiğini test eden sorular çözülebilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic