Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff doğrusal fonksiyonu için,
f(x)+f−1(x)=5x+92f(x) + f^{-1}(x) = \frac{5x + 9}{2}
eşitliği sağlanmaktadır. ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenini pozitif tarafta kestiğine göre, (f∘f)(1)(f \circ f)(1) değeri kaçtır?
  1. A
    11
  2. B
    13
  3. 31Answer
  4. D
    29
  5. E
    −132-\frac{13}{2}

Answer

Doğru cevap 31'dir.
Verilen f(x)+f−1(x)f(x) + f^{-1}(x) eşitliğinde katsayılar karşılaştırılarak f(x)=2x+9f(x) = 2x + 9 fonksiyonu elde edilir. Pozitif yy-ekseni kesimi şartı (b>0b>0) a=2a=2 olmasını gerektirir. Bileşke değeri f(f(1))=f(11)=31f(f(1)) = f(11) = 31 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
ff doğrusal bir fonksiyon olduğu için f(x)=ax+bf(x) = ax + b formunda kabul edilir. Bu durumda ters fonksiyon f−1(x)=x−baf^{-1}(x) = \frac{x - b}{a} olur.
f(x)=ax+b,f−1(x)=1ax−baf(x) = ax + b, \quad f^{-1}(x) = \frac{1}{a}x - \frac{b}{a}
Doğrusal fonksiyonun genel denklemi ve tersi kullanılır.
2
Verilen eşitlikte ifadeler yerine yazılır ve xx'in katsayıları ile sabit terimler eşitlenir.
(a+1a)x+(b−ba)=52x+92\left(a + \frac{1}{a}\right)x + \left(b - \frac{b}{a}\right) = \frac{5}{2}x + \frac{9}{2}
Polinom eşitliği ilkesi gereği aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır.
3
xx'in katsayısından aa değeri bulunur: a+1a=52a + \frac{1}{a} = \frac{5}{2}. Bu denklem 2a2−5a+2=02a^2 - 5a + 2 = 0 haline gelir ve çözülür.
(2a−1)(a−2)=0⇒a=2 veya a=12(2a - 1)(a - 2) = 0 \Rightarrow a = 2 \text{ veya } a = \frac{1}{2}
İkinci dereceden denklemin kökleri bulunur.
4
Sabit terim eşitliğinden bb bulunur: b(1−1a)=92b(1 - \frac{1}{a}) = \frac{9}{2}. İki durum incelenir ve yy-eksenini pozitif tarafta kesme (b>0b > 0) şartı kontrol edilir.
Durum 1 (a=2a=2): b(1−0,5)=4,5⇒0,5b=4,5⇒b=9b(1 - 0,5) = 4,5 \Rightarrow 0,5b = 4,5 \Rightarrow b = 9 (Pozitif, UYGUN).
Durum 2 (a=0,5a=0,5): b(1−2)=4,5⇒−b=4,5⇒b=−4,5b(1 - 2) = 4,5 \Rightarrow -b = 4,5 \Rightarrow b = -4,5 (Negatif, ELENİR).
Soruda verilen kısıtlama (pozitif y-kesimi) doğru fonksiyonu seçmek için kullanılır.
5
Bulunan f(x)=2x+9f(x) = 2x + 9 fonksiyonu kullanılarak (f∘f)(1)(f \circ f)(1) hesaplanır.
f(1)=2(1)+9=11f(1) = 2(1) + 9 = 11. Sonra f(11)=2(11)+9=22+9=31f(11) = 2(11) + 9 = 22 + 9 = 31.
Bileşke fonksiyon tanımı gereği içten dışa doğru işlem yapılır.

Key Concept

Doğrusal Fonksiyonların Tersi ve Bileşkesi
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic