Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar

aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere, (3a−2b)(3a - 2b) ve (2a+3b)(2a + 3b) ifadeleri aralarında asal sayılardır.

3a−2b2a+3b=91117\frac{3a - 2b}{2a + 3b} = \frac{91}{117}


eşitliği sağlandığına göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
  1. 4Answer
  2. B
    13
  3. C
    26
  4. D
    39
  5. E
    52

Answer

4
Soruda (3a−2b)(3a - 2b) ve (2a+3b)(2a + 3b) ifadelerinin aralarında asal olduğu belirtilmiştir. Bu, ifadelerin oranının (91117\frac{91}{117}) en sade haline eşit olması gerektiğini gösterir. 91 ve 117 sayıları 13 ile sadeleştirildiğinde oran 79\frac{7}{9} olur. Buradan kurulan 3a−2b=73a - 2b = 7 ve 2a+3b=92a + 3b = 9 denklem sistemi çözüldüğünde a=3a=3 ve b=1b=1 bulunur. Toplamları 4'tür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen kesri en sade haline getir.
91 ve 117 sayıları 13 ile bölünebilir.
91117=7×139×13=79\frac{91}{117} = \frac{7 \times 13}{9 \times 13} = \frac{7}{9}
Soruda ifadelerin 'aralarında asal' olduğu belirtilmiştir. Bu durumda karşıdaki kesir de aralarında asal (en sade) formda olmalıdır.
2
Pay ve paydayı eşitleyerek iki bilinmeyenli denklem sistemini kur.
3a−2b=73a - 2b = 7
2a+3b=92a + 3b = 9
Kesirler eşit ve en sade halde olduklarından, pay paya, payda paydaya eşittir.
3
Yok etme metoduyla sistemi çöz.
Üstteki denklemi 3 ile, alttaki denklemi 2 ile çarpıp toplayalım:
9a−6b=219a - 6b = 21
4a+6b=184a + 6b = 18
----------------
13a=39⇒a=313a = 39 \Rightarrow a = 3

Bulunan a değerini yerine yazalım:
2(3)+3b=9⇒6+3b=9⇒3b=3⇒b=12(3) + 3b = 9 \Rightarrow 6 + 3b = 9 \Rightarrow 3b = 3 \Rightarrow b = 1
Değişkenlerden birini yok ederek sonuca ulaşılır.
4
İstenen toplamı hesapla.
a+b=3+1=4a + b = 3 + 1 = 4
Sonuç adımı.

Key Concept

İki ifade aralarında asal ise, bu ifadelerin oranı en sade haldeki kesre eşittir.

Hints

1
Verilen kesirdeki 91 sayısı asal gibi görünse de çarpanlarına ayrılabilir. 91 = 7 x 13 olduğunu hatırlayın.
2
İki ifadenin 'aralarında asal' olması, oranlarının en sade kesre eşit olması demektir. 91/117 kesrini 13 ile sadeleştirin.
3
Sadeleştirme sonucu 79\frac{7}{9} elde edilir. Şimdi 3a−2b=73a - 2b = 7 ve 2a+3b=92a + 3b = 9 denklemlerini çözün.

Practice More

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak ifadelerin çarpımını soran bir soru çözülebilir.

Alternative Method

Yok etme metodu yerine yerine koyma metodu da kullanılabilir, ancak rasyonel sayılarla işlem yapmak gerekeceği için daha zor olabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic