Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyonlar
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için
f(n+1)=f(n)+(−1)n⋅(2n)f(n+1) = f(n) + (-1)^n \cdot (2n)
eşitliğini sağlamaktadır.
f(1)=5f(1) = 5 olduğuna göre, f(20)f(20) değeri kaçtır?
  1. A
    -25
  2. B
    -20
  3. -15Answer
  4. D
    -5
  5. E
    15

Answer

f(20) değeri -15'tir.
Verilen fonksiyon indirgemeli (rekürsif) bir yapıdadır. f(n+1)−f(n)f(n+1) - f(n) farkları hesaplandığında, ardışık terimlerin toplamının belirli bir düzen izlediği görülür. 1'den 19'a kadar olan terimlerin toplamı alındığında, ikili grupların her birinin toplamı +2 olurken, son terim olan n=19n=19 tek başına negatif kalır. Toplam fark -20 bulunur ve başlangıç değeri 5 eklendiğinde sonuç -15 olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen bağıntıyı düzenleyerek ardışık terimler arasındaki farkı yazın.
f(n+1)−f(n)=(−1)n⋅(2n)f(n+1) - f(n) = (-1)^n \cdot (2n)
Teleskopik toplam yöntemini kullanabilmek için fark denklemi oluşturulmalıdır.
2
nn değerine 1'den 19'a kadar değerler vererek eşitlikleri alt alta yazın.
n=1⇒f(2)−f(1)=−2n=1 \Rightarrow f(2) - f(1) = -2
n=2⇒f(3)−f(2)=4n=2 \Rightarrow f(3) - f(2) = 4
n=3⇒f(4)−f(3)=−6n=3 \Rightarrow f(4) - f(3) = -6
...
n=19⇒f(20)−f(19)=−38n=19 \Rightarrow f(20) - f(19) = -38
Genel toplamı görmek için terimlerin açık hali gereklidir.
3
Elde edilen eşitlikleri taraf tarafa toplayın.
f(20)−f(1)=−2+4−6+8−...−38f(20) - f(1) = -2 + 4 - 6 + 8 - ... - 38
Ara terimler (f(2),f(3)...f(2), f(3)...) birbirini götürür, geriye sadece ilk ve son fonksiyon değerleri kalır.
4
Sağ taraftaki toplamı ikili gruplar halinde hesaplayın.
(−2+4)+(−6+8)+...+(−34+36)−38(-2+4) + (-6+8) + ... + (-34+36) - 38
Her parantez içi +2 eder. 1'den 18'e kadar 18 terim vardır, bu da 9 çift yapar: 9×2=189 \times 2 = 18.
Son terim (-38) tek kalır: 18−38=−2018 - 38 = -20.
İşaret değiştiren serilerde gruplandırma yapmak işlemi kolaylaştırır.
5
Sonucu yerine koyarak f(20)f(20) değerini bulun.
f(20)−5=−20⇒f(20)=−15f(20) - 5 = -20 \Rightarrow f(20) = -15
Başlangıç değeri eklenerek nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

İndirgemeli Fonksiyon Dizileri

Hints

1
Önce n=1,2,3n=1, 2, 3 değerleri için fonksiyonun aldığı ilk birkaç değeri hesaplayarak örüntüyü görmeye çalışın.
2
f(n+1)−f(n)f(n+1) - f(n) ifadesini yalnız bırakın ve n=1n=1'den başlayarak taraf tarafa toplama (teleskopik toplam) yöntemini kullanın.
3
Toplamda oluşan −2+4−6+8...-2 + 4 - 6 + 8 ... serisini ikili gruplar halinde toplayın. Son terimin (n=19n=19) tek kalacağına dikkat edin.

Practice More

İndirgemeli dizilerde çarpım durumundaki (f(n+1)=n⋅f(n)f(n+1) = n \cdot f(n)) soruları inceleyin.

Alternative Method

Örüntü tespiti: Tek nn değerleri için f(n)=n+4f(n) = n+4 kuralı (örn: f(1)=5, f(3)=7), çift nn değerleri için f(n)=5−nf(n) = 5-n kuralı (örn: f(2)=3, f(4)=1) geçerlidir. Buradan f(20)=5−20=−15f(20) = 5-20 = -15 bulunur.
Estimated Time:3m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic