Examkin

Question

Difficulty: HardAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde, köşe noktaları O(0,0)O(0,0), A(6,0)A(6,0) ve B(0,2)B(0,2) olan OABOAB üçgeninin y=xy = x doğrusuna göre simetriği alınarak ikinci bir üçgen elde ediliyor. Buna göre, elde edilen bu iki üçgenin kesişim bölgesinin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    2
  2. B
    2,5
  3. 3Answer
  4. D
    4
  5. E
    6

Answer

İki üçgenin kesişim bölgesinin alanı 3 birimkaredir.
Verilen üçgenin ve simetriğinin kesişimi, köşeleri orijin, eksenler üzerindeki en yakın noktalar ve hipotenüslerin kesişim noktası olan bir dörtgendir. Bu dörtgenin alanı, iki küçük üçgene ayrılarak hesaplandığında 3 birimkare bulunur.

Step-by-Step Solution

1
İlk üçgenin kenar doğrularını ve simetriğini belirle.
OABOAB üçgeninin hipotenüsü ABAB doğrusudur. A(6,0)A(6,0) ve B(0,2)B(0,2) noktalarından geçen doğru denklemi: y−0=2−00−6(x−6)⇒y=−13x+2y - 0 = \frac{2-0}{0-6}(x-6) \Rightarrow y = -\frac{1}{3}x + 2.
Üçgenin sınırlarını belirleyen doğruların denklemleri kesişim noktasını bulmak için gereklidir.
2
Simetrik üçgenin hipotenüs denklemini bul.
y=−13x+2y = -\frac{1}{3}x + 2 doğrusunun y=xy=x doğrusuna göre simetriği, xx ve yy yer değiştirilerek bulunur: x=−13y+2⇒3x=−y+6⇒y=−3x+6x = -\frac{1}{3}y + 2 \Rightarrow 3x = -y + 6 \Rightarrow y = -3x + 6.
İkinci üçgenin sınır doğrusu, ilk doğrunun y=xy=x'e göre simetriğidir.
3
İki hipotenüsün kesişim noktasını (PP) bul.
−13x+2=−3x+6-\frac{1}{3}x + 2 = -3x + 6 denklemi çözülür. 8x3=4⇒x=128=1,5\frac{8x}{3} = 4 \Rightarrow x = \frac{12}{8} = 1,5. y=−3(1,5)+6=1,5y = -3(1,5) + 6 = 1,5. Kesişim noktası P(1,5;1,5)P(1,5; 1,5).
Kesişim bölgesi, eksenler ve bu iki doğrunun kesişim noktası ile sınırlıdır.
4
Kesişim bölgesinin alanını hesapla.
Bölge köşeleri O(0,0)O(0,0), B′(2,0)B'(2,0), P(1,5;1,5)P(1,5; 1,5) ve B(0,2)B(0,2) olan bir deltoiddir. Alanı, OPOP köşegeni ile iki üçgene ayrılarak hesaplanır: Alan=Alan(OB′P)+Alan(OBP)=2⋅1,52+2⋅1,52=1,5+1,5=3Alan = Alan(OB'P) + Alan(OBP) = \frac{2 \cdot 1,5}{2} + \frac{2 \cdot 1,5}{2} = 1,5 + 1,5 = 3.
Çokgenin alanı, tabanları eksenler üzerinde olan iki üçgenin toplamı olarak kolayca hesaplanabilir.

Key Concept

Analitik düzlemde simetri ve doğruların kesişimi ile oluşan bölgelerin alan hesabı.

Hints

1
Önce AA ve BB noktalarının y=xy=x doğrusuna göre simetriklerini bularak ikinci üçgenin köşe noktalarını belirleyin.
2
İki üçgenin hipotenüs doğrularının denklemlerini yazıp ortak kesişim noktasını bulun.

Practice More

Benzer bir soruyu y=−xy=-x simetriği için çözmeyi deneyin.

Alternative Method

Grafik çizilerek kesişim bölgesinin (0,0)(0,0), (2,0)(2,0), P(1,5;1,5)P(1,5; 1,5) ve (0,2)(0,2) noktaları olduğu görülür. Bu şekil y=xy=x doğrusu üzerinde katlandığında simetrik olduğundan, alanı 2×(Taban 2×Yu¨kseklik 1,5/2)=32 \times (\text{Taban } 2 \times \text{Yükseklik } 1,5 / 2) = 3 olarak bulunabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic