A = \{a, b, c, d, e\} ve B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümeleri veriliyor. A kümesinden B kümes… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

$A = \{a, b, c, d, e\}$ ve $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümeleri veriliyor. $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı $f$ fonksiyonunun birebir (1-1) olduğu bilinmektedir.

$f$ fonksiyonu için aşağıdaki şartlar sağlanmaktadır:
1. $f(a) + f(b) = 7$
2. $f(c)$ değeri bir tek sayıdır.

Buna göre, bu şartları sağlayan kaç farklı $f$ fonksiyonu tanımlanabilir?

A
36
B
48
72Answer
D
96
E
108

Answer

Verilen şartlara uyan 72 farklı birebir fonksiyon tanımlanabilir.

İşlem adımları sırasıyla şöyledir: 1.

f(a)+f(b)=7

şartını sağlayan 6 farklı sıralı ikili vardır. Bu ikililerin her birinde bir tek ve bir çift sayı kullanılır. 2.

f(c)

tek sayı olmalıdır. Toplam 3 tek sayıdan 1 tanesi

a

veya

b

tarafından kullanıldığı için geriye 2 seçenek kalır. 3. Geriye kalan

d

e

elemanları için, kullanılmayan 3 eleman kalmıştır.

d

için 3,

e

için 2 seçenek vardır (

3 \times 2 = 6

). Sonuç:

6 \times 2 \times 6 = 72

Step-by-Step Solution

f(a) + f(b) = 7 şartını sağlayan ve birbirinden farklı (birebir olduğu için) ikilileri belirle.

B kümesindeki elemanlardan toplamı 7 olan ikililer: (1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3). Toplam 6 durum vardır.

Fonksiyon birebir olduğu için f(a) ≠ f(b) olmalıdır. Hem a hem b için değer seçilmelidir.

Bu seçimlerin tek/çift sayı durumunu ve f(c) için kalan seçenekleri analiz et.

Her ikilide (örneğin 1 ve 6) mutlaka 1 tek ve 1 çift sayı kullanılır. B kümesindeki tek sayılar {1, 3, 5} (3 adet), çift sayılar {2, 4, 6} (3 adet). a ve b için 1 tek sayı kesinlikle kullanıldığı için, f(c) için geriye 3 - 1 = 2 adet tek sayı kalır.

f(c)'nin tek sayı olması şartı, a ve b'nin kullandığı sayılara bağlıdır.

Kalan elemanlar (d ve e) için seçenek sayısını hesapla.

B kümesinde toplam 6 eleman var. f(a), f(b) ve f(c) için toplam 3 eleman kullanıldı. Geriye 6 - 3 = 3 eleman kalır. d için 3, e için 2 seçenek vardır (veya P(3,2) = 6).

Fonksiyon birebir olduğu için kullanılan değerler tekrar kullanılamaz.

Çarpma kuralını uygulayarak toplam fonksiyon sayısını bul.

6 (a ve b için) × 2 (c için) × 6 (d ve e için) = 72.

Olaylar bağımsız aşamalar olduğu için seçenek sayıları çarpılır.

Key Concept

Birebir Fonksiyon Sayısı ve Saymanın Temel İlkesi

Hints

Önce f(a) + f(b) = 7 eşitliğini sağlayan sayı çiftlerini listeleyin. Sıralamanın önemli olduğunu unutmayın (f(a)=1 ile f(a)=6 farklıdır).

f(a) ve f(b) çiftlerinin her birinde kaç tane tek sayı kullanıldığını kontrol edin. Bu, f(c) için kaç tek sayı kaldığını belirleyecektir.

Adım adım seçenek sayılarını çarpın: (a,b çifti sayısı) × (c için kalan tek sayılar) × (d,e için kalan tüm sayılar).

Practice More

Birebir olmayan fonksiyon sayısı sorulsaydı sonuç nasıl değişirdi?

Alternative Method

Tüm birebir fonksiyonlardan şartları sağlamayanları çıkarmak yerine, doğrudan şartları sağlayan durumları saymak (yukarıdaki yöntem) bu soru için çok daha pratiktir.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic