Examkin

Question

Difficulty: HardAralarında Asal Sayılar
xx ve yy aralarında asal doğal sayılar olmak üzere,
x⋅y+72=13yx \cdot y + 72 = 13y
eşitliği veriliyor.

Buna göre, xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    23
  2. 24Answer
  3. C
    35
  4. D
    47
  5. E
    59

Answer

Doğru cevap, xx'in alabileceği değerlerin toplamı olan 24'tür.
Verilen denklem x=13−72yx = 13 - \frac{72}{y} şeklinde düzenlendiğinde, yy'nin 72'yi bölen ve 5,5'ten büyük bir sayı olması gerektiği bulunur. Olası yy değerleri denenip karşılık gelen xx değerleri bulunduğunda, sadece (1,6),(5,9),(7,12)(1,6), (5,9), (7,12) ve (11,36)(11,36) çiftlerinin aralarında asal olduğu görülür. Bu duruma uyan xx değerlerinin toplamı 1+5+7+11=241+5+7+11=24 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemde xx'i yalnız bırakarak yy ile ilişkisini belirle.
xy+72=13y⇒xy=13y−72⇒x=13y−72y=13−72yxy + 72 = 13y \Rightarrow xy = 13y - 72 \Rightarrow x = \frac{13y - 72}{y} = 13 - \frac{72}{y}
xx'in doğal sayı olması için yy'nin hangi şartları sağlaması gerektiğini görmek için.
2
xx'in bir doğal sayı olması şartını sağlayan yy değerlerini bul.
x>0x > 0 olması için 13−72y>0⇒13>72y⇒y>7213≈5,513 - \frac{72}{y} > 0 \Rightarrow 13 > \frac{72}{y} \Rightarrow y > \frac{72}{13} \approx 5,5. Ayrıca 72y\frac{72}{y} tam sayı olmalı, yani yy, 72'nin 5,5'ten büyük bölenleri olmalıdır: {6,8,9,12,18,24,36,72}\{6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\}.
Olası tüm adayları belirlemek için.
3
Her bir yy değeri için xx'i hesapla ve (x,y)(x, y) çiftinin aralarında asal olup olmadığını kontrol et.
Tablo oluşturarak kontrol edelim:
- y=6⇒x=13−12=1y=6 \Rightarrow x=13-12=1. (1,6)(1,6) aralarında asal mı? EVET.
- y=8⇒x=13−9=4y=8 \Rightarrow x=13-9=4. (4,8)(4,8) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 4).
- y=9⇒x=13−8=5y=9 \Rightarrow x=13-8=5. (5,9)(5,9) aralarında asal mı? EVET.
- y=12⇒x=13−6=7y=12 \Rightarrow x=13-6=7. (7,12)(7,12) aralarında asal mı? EVET.
- y=18⇒x=13−4=9y=18 \Rightarrow x=13-4=9. (9,18)(9,18) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 9).
- y=24⇒x=13−3=10y=24 \Rightarrow x=13-3=10. (10,24)(10,24) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 2).
- y=36⇒x=13−2=11y=36 \Rightarrow x=13-2=11. (11,36)(11,36) aralarında asal mı? EVET.
- y=72⇒x=13−1=12y=72 \Rightarrow x=13-1=12. (12,72)(12,72) aralarında asal mı? HAYIR (OBEB 12).
Soruda verilen 'aralarında asal' şartını sağlayan gerçek çözümleri ayrıştırmak için.
4
Şartları sağlayan xx değerlerini topla.
Uygun xx değerleri: 1,5,7,111, 5, 7, 11. Toplam: 1+5+7+11=241 + 5 + 7 + 11 = 24.
Sonuca ulaşmak için.

Key Concept

İki doğal sayının aralarında asal olması için 1'den başka ortak pozitif bölenleri olmamalıdır. 1 sayısı tüm pozitif tam sayılarla aralarında asaldır.

Hints

1
Denklemde xx'i yalnız bırakın: x=13y−72yx = \frac{13y-72}{y}. Bu ifadeyi basit kesirlerine ayırarak (13−72y13 - \frac{72}{y}) xx'in tam sayı olması için yy'nin hangi özellikleri taşıması gerektiğini düşünün.
2
xx'in doğal sayı olabilmesi için 13−72y13 - \frac{72}{y} ifadesinin 0'dan büyük ve tam sayı olması gerekir. Bu da yy'nin 72'nin bir böleni olmasını ve aynı zamanda 13>72y13 > \frac{72}{y} eşitsizliğini sağlamasını gerektirir.
3
Bulduğunuz (x,y)(x, y) çiftleri için OBEB(x, y) = 1 kontrolü yapmayı unutmayın. Örneğin y=8y=8 için x=4x=4 çıkar, ancak 4 ve 8 aralarında asal değildir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Aralarında Asal Sayılar

More questions from this topic