Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı aa ve bb sayıları için aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

  1. A
    a ve b irrasyonel sayılar ise a + b toplamı irrasyoneldir
  2. B
    a rasyonel ve b irrasyonel bir sayı ise a · b çarpımı irrasyoneldir
  3. C
    a² rasyonel bir sayı ise a rasyonel bir sayıdır
  4. a + b ve a - b rasyonel sayılar ise a · b rasyonel bir sayıdırAnswer
  5. E
    a · b rasyonel bir sayı ise a ve b rasyonel sayılardır

Answer

Toplamları ve farkları rasyonel olan iki sayının çarpımı daima rasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi dört işleme göre kapalıdır. a+ba+b ve a−ba-b rasyonel ise, bu iki ifadenin toplamının yarısı olan aa ve farkının yarısı olan bb de rasyonel olmak zorundadır. İki rasyonel sayının çarpımı da rasyonel olacağından, bu ifade daima doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Yanlış seçenekleri elemek için 'aksine örnek verme' (counter-example) yöntemini kullanın.
Örneğin, irrasyonel sayıların toplamı için 2+(−2)=0\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 örneği verilebilir; 0 rasyoneldir.
Daima doğru ifadeleri bulmak için tek bir istisna yeterlidir.
2
Doğru seçeneği cebirsel olarak kanıtlayın. a+b=xa+b = x ve a−b=ya-b = y olsun, burada x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} (Rasyonel).
Taraf tarafa toplama yapılırsa: 2a=x+y  ⟹  a=x+y22a = x+y \implies a = \frac{x+y}{2}.
Rasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemine göre kapalıdır, yani aa rasyoneldir.
3
bb sayısını bulmak için taraf tarafa çıkarma yapın.
Q\mathbb{Q} kümesinde işlem yapıldığından b=x−y2b = \frac{x-y}{2} de rasyoneldir.
Rasyonel sayıların farkı ve bölümü de rasyoneldir.
4
Bulunan aa ve bb değerlerini çarpın.
İki rasyonel sayının çarpımı (a⋅ba \cdot b) rasyonel olmak zorundadır.
Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

Key Concept

Sayı Kümelerinde Kapalılık Özellikleri

Hints

1
Seçeneklerin doğruluğunu test etmek için 'ters örnek' (aksine örnek) bulmaya çalışın. Özellikle 2\sqrt{2} ve −2-\sqrt{2} gibi birbirini yok eden sayıları kullanın.
2
Bir sayının rasyonel olması için, rasyonel iki sayının toplamı, farkı, çarpımı veya bölümü (sıfıra bölme hariç) şeklinde ifade edilebilmesi yeterlidir.
3
Toplamları ve farkları rasyonel olan iki denklemi taraf tarafa toplayarak aa'yı yalnız bırakın. aa'nın rasyonel sayılardan oluşup oluşmadığını kontrol edin.

Alternative Method

Değer Verme Yöntemi: a+b=4a+b=4 ve a−b=2a-b=2 olsun. Bu durumda 2a=6  ⟹  a=32a=6 \implies a=3 ve b=1b=1 bulunur. Çarpımları 33 (rasyonel) olur. Sadece bir örnek doğruluğu kanıtlamaz ancak eleme yapmanızı sağlar.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel)

More questions from this topic