Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlar
ff doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, her xx gerçel sayısı için
f(x)+(f∘f)(x)=6x+8 f(x) + (f \circ f)(x) = 6x + 8
eşitliği sağlanmaktadır.

f(0)>0f(0) > 0 olduğu bilindiğine göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    -14
  2. B
    4
  3. 6Answer
  4. D
    8
  5. E
    10

Answer

6
Verilen eşitlikte f(x)=ax+bf(x)=ax+b dönüşümü yapıldığında, katsayılar eşitliğinden a=2a=2 ve b=2b=2 değerleri f(0)>0f(0)>0 koşulunu sağlayan tek çözümdür. Böylece f(x)=2x+2f(x)=2x+2 bulunur ve f(2)=6f(2)=6 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) doğrusal fonksiyon olduğu için f(x)=ax+bf(x) = ax + b formunda yazılır.
f(x)=ax+bf(x) = ax + b
Doğrusal fonksiyonların genel formatı ax+bax+b şeklindedir.
2
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) bileşke fonksiyonunu hesapla.
(f∘f)(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b(f \circ f)(x) = f(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + ab + b
Bileşke işleminde içteki fonksiyon dıştaki fonksiyonda xx yerine yazılır.
3
Eşitlikte yerlerine yazarak polinom eşitliği kur: (ax+b)+(a2x+ab+b)=6x+8(ax+b) + (a^2x + ab + b) = 6x + 8.
(a2+a)x+(ab+2b)=6x+8(a^2+a)x + (ab+2b) = 6x + 8
xx'li terimlerin katsayıları ve sabit terimler karşılıklı olarak eşitlenir.
4
xx'in katsayısını eşitleyerek aa değerlerini bul: a2+a=6a^2 + a = 6.
a2+a−6=0⇒(a+3)(a−2)=0⇒a=−3a^2 + a - 6 = 0 \Rightarrow (a+3)(a-2) = 0 \Rightarrow a = -3 veya a=2a = 2.
İkinci dereceden denklem çözümü.
5
Sabit terimleri eşitleyerek bb değerini bul: b(a+2)=8b(a+2) = 8. Her iki aa değeri için bb'yi ve f(0)f(0) koşulunu kontrol et.
Durum 1 (a=2a=2): b(4)=8⇒b=2b(4)=8 \Rightarrow b=2. Bu durumda f(0)=b=2>0f(0)=b=2 > 0. (Koşul sağlanır).
Durum 2 (a=−3a=-3): b(−1)=8⇒b=−8b(-1)=8 \Rightarrow b=-8. Bu durumda f(0)=b=−8<0f(0)=b=-8 < 0. (Koşul sağlanmaz).
Soruda verilen f(0)>0f(0) > 0 kısıtlaması doğru fonksiyonu seçmemizi sağlar.
6
Doğru fonksiyon f(x)=2x+2f(x) = 2x + 2 olduğuna göre f(2)f(2) değerini hesapla.
f(2)=2(2)+2=6f(2) = 2(2) + 2 = 6.
Fonksiyon kuralı bulunduktan sonra istenen değer yerine yazılır.

Key Concept

Bileşke Fonksiyon ve Polinom Eşitliği

Hints

1
f(x)f(x) fonksiyonunun doğrusal olduğu belirtildiğinden, f(x)=ax+bf(x) = ax + b şeklinde bir ifade varsayarak başlayın.
2
(f∘f)(x)(f \circ f)(x) ifadesini bulmak için f(x)f(x) ifadesinde xx gördüğünüz yere tekrar ax+bax + b yazın: a(ax+b)+ba(ax+b) + b.
3
Elde ettiğiniz (a2+a)x+(ab+2b)(a^2+a)x + (ab+2b) ifadesini 6x+86x+8 ile eşitleyin. a2+a=6a^2+a=6 denkleminden gelen köklerden hangisinin f(0)>0f(0)>0 (yani b>0b>0) koşulunu sağladığını kontrol edin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlar

More questions from this topic