Examkin

Question

Difficulty: Very hardBirinci Dereceden Denklemler
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
(a+1)x−3x−2=4+bx−5x−2 \frac{(a+1)x - 3}{x - 2} = 4 + \frac{bx - 5}{x - 2}
denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.

Buna göre, a−ba - b ifadesinin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -2
  2. 1Answer
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Answer

a - b ifadesinin alabileceği değerler 3 ve -2 olup, toplamları 1'dir.
Verilen denklem düzenlendiğinde (a−b−3)x=−10(a-b-3)x = -10 elde edilir. Çözüm kümesinin boş olması için iki ihtimal vardır: 1) x'in katsayısı 0 olur ve eşitlik sağlanamaz (0=−100=-10 çelişkisi). Buradan a−b=3a-b=3 bulunur. 2) x'in katsayısı 0 değildir ancak bulunan x değeri paydayı tanımsız yapan x=2x=2 değeridir. Buradan x=2x=2 için a−b=−2a-b=-2 bulunur. Toplamları 3+(−2)=13+(-2)=1 olur.

Step-by-Step Solution

1
Denklemi düzenle ve x'li terimleri bir araya getir.
Denklem (a−b−3)x=−10(a - b - 3)x = -10 haline gelir (x≠2x \neq 2 şartıyla).
Rasyonel ifadeleri bir tarafa toplayıp paydaları eşitleyerek lineer forma dönüştürmek gerekir.
2
Çözüm kümesinin boş olması için gereken 1. durumu (Katsayı Sıfır) incele.
a−b−3=0⇒a−b=3a - b - 3 = 0 \Rightarrow a - b = 3. Bu durumda 0=−100 = -10 çelişkisi elde edilir, çözüm boştur.
Ax=BAx = B formatındaki bir denklemde A=0A=0 ve B≠0B \neq 0 ise çözüm yoktur.
3
Çözüm kümesinin boş olması için gereken 2. durumu (Tanımsız Kök) incele.
Bulunan kök x=−10a−b−3x = \frac{-10}{a - b - 3} değeri, paydayı sıfır yapan x=2x=2 değerine eşitse çözüm kümesi boştur.
Cebirsel olarak bulunan kök, tanım kümesi dışındaysa (paydayı sıfır yapıyorsa) çözüm kümesine dahil edilemez.
4
İkinci durumdan gelen şartı sağlayan değeri bul.
2=−10a−b−3⇒2(a−b−3)=−10⇒a−b−3=−5⇒a−b=−22 = \frac{-10}{a - b - 3} \Rightarrow 2(a - b - 3) = -10 \Rightarrow a - b - 3 = -5 \Rightarrow a - b = -2.
x yerine 2 yazılarak a-b değeri hesaplanır.
5
Bulunan değerleri topla.
3+(−2)=13 + (-2) = 1.
Soruda a-b'nin alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Rasyonel denklemlerde boş küme, ya x'in katsayısının sıfır olup sabitin sıfırdan farklı olmasıyla ya da bulunan kökün paydayı sıfır yapmasıyla oluşur.

Hints

1
Denklemdeki rasyonel ifadeleri yok etmek için eşitliğin her iki tarafını düzenleyerek Ax=BAx = B formuna getirin.
2
Birinci dereceden Ax=BAx = B denkleminin çözümünün olmaması için ya A=0,B≠0A=0, B\neq0 olmalı ya da bulunan xx değeri başlangıçtaki paydayı sıfır yapmalıdır.
3
Denklemi (a−b−3)x=−10(a-b-3)x = -10 haline getirdikten sonra, katsayıyı sıfır yapan değeri ve x=2x=2 (paydayı sıfır yapan değer) koyduğunuzda çıkan değeri hesaplayın.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden Denklemler

More questions from this topic