Tam sayılar kümesi (\mathbb{Z}) üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi **örten… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

Tam sayılar kümesi ( $\mathbb{Z}$ ) üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi örten (surjective) bir fonksiyon olmasına rağmen birebir (injective) değildir?

A
$f(x) = 2x + 1$
B
$f(x) = \begin{cases} x+1 & x \ge 0 \\ x & x < 0 \end{cases}$
C
$f(x) = 1 - x$
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift ise} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek ise} \end{cases}$ Answer
E
$f(x) = x^3$

Answer

Parçalı olarak tanımlanan

f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & x \text{ çift} \\ \frac{x-1}{2} & x \text{ tek} \end{cases}

fonksiyonu.

Verilen parçalı fonksiyon, tüm tam sayıları (örtenlik) çift sayılar dalı üzerinden elde edebilir (

f(2y)=y

). Ancak, tek ve çift sayıların görüntüleri çakışabildiği için (örneğin

f(0)=0

f(1)=0

) birebir değildir. Bu durum, sonsuz kümelerde bir fonksiyonun örten olup birebir olmamasının klasik bir örneğidir.

Step-by-Step Solution

Örtenlik testi: Değer kümesindeki (

\\mathbb{Z}

) her elemanın en az bir kez görüntülenip görüntülenmediğini kontrol et.

D seçeneğinde, her

y \\in \\mathbb{Z}

sayısı için

x = 2y

(çift sayı) seçilirse

f(2y) = 2y/2 = y

olur. Yani tüm tam sayılar elde edilebilir, fonksiyon örtendir.

Bir fonksiyonun örten olması için değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

Birebirlik testi: Tanım kümesindeki farklı elemanların aynı görüntüye gidip gitmediğini kontrol et.

D seçeneğinde,

f(0) = 0/2 = 0

f(1) = (1-1)/2 = 0

bulunur.

0 \\neq 1

olmasına rağmen

f(0) = f(1)

olduğundan fonksiyon birebir değildir.

Farklı girdiler aynı çıktıyı veriyorsa fonksiyon birebir olamaz.

Diğer seçenekleri ele.

f(x)=2x+1

(Tek sayıları örter, çiftleri örtmez),

f(x)=1-x

(Hem birebir hem örtendir),

f(x)=x^3

(Sadece küpleri örter), B seçeneği (0 değerini almaz).

Soru bizden 'Örten OLSUN ama Birebir OLMASIN' şartını sağlayan tek fonksiyonu istemektedir.

Key Concept

Örten fonksiyon, değer kümesindeki her elemanın eşleştiği fonksiyondur. Birebir fonksiyon ise her elemanın farklı bir görüntüye sahip olduğu fonksiyondur.

\\mathbb{Z}

gibi sonsuz kümelerde bu iki özellik bağımsız olabilir.

Hints

Fonksiyonun örten olması için

\mathbb{Z}

'deki HER sayının sonuç olarak çıkabilmesi gerekir.

Birebir olmaması için, farklı iki

x

değerinin (örneğin 0 ve 1) aynı sonucu vermesi gerekir.

Parçalı fonksiyonda çift sayıları (

2k

) kullanarak tüm tam sayıları elde edip edemeyeceğinizi kontrol edin.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Topics

More questions from this topic