Examkin

Question

Difficulty: MediumAnalitik Geometri

Dik koordinat düzleminde A(2,1)A(2, 1) noktasının 3x+4y+k=03x + 4y + k = 0 doğrusuna olan uzaklığı 44 birimdir. Buna göre, kk sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -30
  2. -20Answer
  3. C
    -10
  4. D
    10
  5. E
    20

Answer

k sayısının alabileceği değerlerin toplamı -20'dir.
Noktanın doğruya uzaklık formülü ∣3(2)+4(1)+k∣/32+42=4|3(2) + 4(1) + k| / \sqrt{3^2 + 4^2} = 4 şeklinde kurulur. Buradan ∣10+k∣=20|10 + k| = 20 elde edilir. Bu eşitliği sağlayan kk değerleri 1010 ve −30-30 olduğu için toplamları −20-20 olur.

Step-by-Step Solution

1
Noktanın doğruya olan uzaklık formülünü belirle.
d=∣ax1+by1+c∣a2+b2d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
Bir noktanın bir doğruya olan dik uzaklığını hesaplamak için standart analitik geometri formülü kullanılır.
2
A(2,1)A(2, 1) noktasını ve 3x+4y+k=03x + 4y + k = 0 doğrusunu formülde yerine koy.
4=∣3(2)+4(1)+k∣32+424 = \frac{|3(2) + 4(1) + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}
Verilen koordinatları (x1=2,y1=1x_1=2, y_1=1) ve katsayıları (a=3,b=4a=3, b=4) kullanarak denklem kurulur.
3
Denklemi sadeleştirerek mutlak değerli ifadeyi yalnız bırak.
4=∣10+k∣5⇒∣10+k∣=204 = \frac{|10 + k|}{5} \Rightarrow |10 + k| = 20
Paydadaki 25=5\sqrt{25}=5 değeri ile karşıdaki uzaklık değeri (4) çarpılarak denklem basitleştirilir.
4
Mutlak değerli denklemi iki durum için çöz.
10+k=20⇒k1=1010 + k = 20 \Rightarrow k_1 = 10 ve 10+k=−20⇒k2=−3010 + k = -20 \Rightarrow k_2 = -30
Mutlak değer içerisindeki bir ifade, dışarıdaki pozitif sayıya veya onun negatifine eşit olabilir.
5
Bulunan kk değerlerini topla.
10+(−30)=−2010 + (-30) = -20
Soruda istenen değerlerin toplamı işlemidir.

Key Concept

Noktanın doğruya olan uzaklığı formülü ve mutlak değerli denklemler.

Hints

1
Noktanın doğruya uzaklığı formülünde paydada katsayıların kareleri toplamının karekökü bulunur.
2
Elde edeceğiniz denklem ∣10+k∣=20|10+k|=20 şeklindedir. Mutlak değerden dolayı iki farklı sonuç çıkacağını unutmayın.
3
Mutlak değerli bir denklemde ∣X∣=a|X|=a ise X=aX=a veya X=−aX=-a olur. Her iki durumu da çözüp k değerlerini bulun.

Practice More

Benzer bir mantıkla iki paralel doğru arasındaki uzaklık formülünü çalışabilirsiniz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Analitik Geometri

More questions from this topic